chung minh rang neu a,b,c la do dai 3 canh cua 1 tam giac co chu vi = 3thi 3a^2+3b^2 +3c^2 +4abc >hoac=13

0 bình luận về “chung minh rang neu a,b,c la do dai 3 canh cua 1 tam giac co chu vi = 3thi 3a^2+3b^2 +3c^2 +4abc >hoac=13”

1. Đáp án:

    Ta dễ dàng chứng minh được: $0 < a,b,c \le \frac{3}{2}$

   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta được:

   $\begin{array}{l}
   (\frac{3}{2} – a) + (\frac{3}{2} – b) + (\frac{3}{2} – c) \ge 3\sqrt[3]{{(\frac{3}{2} – a)(\frac{3}{2} – b)(\frac{3}{2} – c)}}\\
    \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \ge (\frac{3}{2} – a)(\frac{3}{2} – b)(\frac{3}{2} – c)\\
    \Leftrightarrow \frac{1}{8} \ge \frac{{27}}{8} – \frac{9}{4}\left( {a + b + c} \right) + \frac{3}{2}\left( {ab + bc + ca} \right) – abc\\
    \Leftrightarrow \frac{1}{8} \ge  – \frac{{27}}{8} + \frac{3}{2}\left( {ab + bc + ac} \right) – abc\\
    \Leftrightarrow 4abc \ge  – 14 + 6\left( {ab + bc + ca} \right)\\
    \Leftrightarrow 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + 4abc \ge 13\left( {dpcm} \right)
   \end{array}$

   Trả lời