Chứng minh rằng nếu có dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{a_{2}}{a_{3}}$ = ….. = $\frac{a_{2010}}{a_{2011}}$ thì $\frac{a_{1}}{a_{2011}}$ = $(\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{2010}}{a_{2}+a_{3}+…+a_{2011}})^{2010}$
Chứng minh rằng nếu có dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{a_{2}}{a_{3}}$ = ….. = $\frac{a_{2010}}{a_{2011}}$ thì $\frac{a_{1}}{a_{2011}}$ = $(\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{2010}}{a_{2}+a_{3}+…+a_{2011}})^{2010}$
Ta có: `(a_1)/(a_2) = (a_2)/(a_3) =….= (a_2010)/(a_2011)`
`=> (a_1)/(a_2). (a_2)/(a_3) …(a_2010)/(a_2011)`
`= (a_1)/(a_2011) (1)`
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
`(a_1)/(a_2) = (a_2)/(a_3) =….= (a_2010)/(a_2011)`
`= (a_1 + a_2 + a_3 +…+a_2010)/(a_2 + a_3 +…+a_2011)`
`=>(a_1)/(a_2) = (a_1 + a_2 + a_3 +…+a_2010)/(a_2 + a_3 +…+a_2011)`
`(a_2)/(a_3) = (a_1 + a_2 + a_3 +…+a_2010)/(a_2 + a_3 +…+a_2011)`
`………………………………………………………..`
`(a_2010/a_2011)= (a_1 + a_2 + a_3 +…+a_2010)/(a_2 + a_3 +…+a_2011)`
Do đó : `(a_1)/(a_2). (a_2)/(a_3) …(a_2010)/(a_2011) = ((a_1 + a_2 + a_3 +…+a_2010)/(a_2 + a_3 +…+a_2011))^2010 (2)`
Từ `(1); (2)` `=> (a_1)/(a_2011) = ((a_1 + a_2 + a_3 +…+a_2010)/(a_2 + a_3 +…+a_2011))^2010 `
Vậy `(a_1)/(a_2011) = ((a_1 + a_2 + a_3 +…+a_2010)/(a_2 + a_3 +…+a_2011))^2010 `
Đáp án + Giải thích các bước giải:
`text{Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :}`
`(a_1)/(a_2)=(a_2)/(a_3)=…=(a_2010)/(a_2011)`
`=(a_1+a_2+…+a_2010)/(a_2+a_3+…+a_2011)`
`to`
`(a_1)/(a_2)=(a_1+a_2+…+a_2010)/(a_2+a_3+…+a_2011)`
`(a_2)/(a_3)=(a_1+a_2+…+a_2010)/(a_2+a_3+…+a_2011)`
`…`
`(a_2010)/(a_2011)=(a_1+a_2+…+a_2010)/(a_2+a_3+…+a_2011)`
`text{Nhân vế theo vế ta được}`
`(a_1)/(a_2) . (a_2)/(a_3) … (a_2010)/(a_2011) `
`= (a_1)/(a_2011)=((a_1+a_2+…+a_2010)/(a_2+a_3+…+a_2011))^2010`