Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho 24

0 bình luận về “Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho 24”

1. Đáp án:

         Ta có `(p-1)p(p+1)vdots3` mà `(p,3)=1` nên:

                   `(p-1)(p+1)vdots3`              `(1)`

         `p` là số nguyên tố lớn hơn `3` nên `p` là số lẻ, `p-1` và `p+1` là `2` số chẵn liên tiếp. Trong `2` số chẵn liên tiếp, có `1` số là bội của `4` nên tích của chúng chia hết cho `8`           `(2)` 

         Từ `(1)` và `(2)` suy ra `(p-1)(p+1)` chia hết cho `2` số nguyên tố cùng nhau `3` và `8`.

    `=>(p-1)(p+1)vdots24`

    

   Bình luận

2. Đáp án:

   Do `p > 3` => p là số lẻ => `p = 2k + 1 (k ∈ N*)`

   `=> (p – 1)(p + 1) = (2k + 1 – 1)(2k + 1 + 1) = 2k.(2k + 2)`

   Do `2k ; 2k + 2` là 2 số chẵn liên tiếp

   `=> 2k(2k + 2)` chia hết cho 8 

   `=> (p – 1)(p + 1)` chia hết cho 8 (1)

   Do `p > 3 ` => p sẽ có 2 dạng là `3k + 1 , 3k + 2 (k ∈ N*)` 

   Với `p = 3k + 1`

   `=> (p – 1)(p + 1) = (3k + 1 – 1)(p + 1) = 3k.(p + 1)` chia hết cho 3 

   Với `p = 3k + 2`

   `=> (p – 1)(p + 1) = (p – 1)(3k + 2 + 1) = (p – 1)(3k + 3)` chia hết cho 3 

   `=> (p – 1)(p + 1)` chia hết cho 3 với mọi p nguyên tố > 3 (2)

   Từ (1) và (2)

   `=> (p – 1)(p + 1)` chia hết cho 24

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận