Chứng minh rằng nếu p và p^2+2 là số nguyên tố thì p^3+2 cũng là số nguyên tố

0 bình luận về “Chứng minh rằng nếu p và p^2+2 là số nguyên tố thì p^3+2 cũng là số nguyên tố”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    `p` là số nguyên tố:

   TH1:`p=2`

   `=>p^2+2=6` không phải là số nguyên tố

   `=>` Loại

   TH2:`p=3`

   `=>p^2+2=11`là số nguyên tố`(tm)`

   `=>p^3+2=29`là số nguyên tố`(tm)`

   TH3:`p>3,p` là số nguyên tố

   `=>p`$\not\vdots$`3`

   `=>p^2 :3` dư `1`

   `=>(p^2 +2)`$\vdots$`3`

   Mà `p^2 +2>3`

   `=>p^2 +2 ` là hợp số

   `=>` Loại

   Vậy ……

   Bình luận

2. `p` và `p^2+2` là số nguyên tố.

   +) Nếu $p=2$

   `=>p^2+2=2^2+2=6` không là số nguyên tố

   `=>` loại `p=2`

   $\\$

   +) Nếu `p=3`

   `=>p^2+2=3^2+2=11` là số nguyên tố 

   `\qquad p^3+2=3^3+2=29` là số nguyên tố 

   `=>p=3` thỏa đề bài

   $\\$

   +) Nếu `p>3`

   Vì `p` là số nguyên tố

   `=>`$p\not\ \vdots\ 3$

   `=>p=3k+1` hoặc `p=3k+2`

   $\\$

   ++) Nếu `p=3k+1`

   `=>p^2+2=(3k+1)^2+2`

   `\qquad =(3k+1).(3k+1)+2`

   `\qquad =(3k).(3k)+3k+3k+1+2`

   `\qquad =9k^2+6k+3`

   `\qquad =3(3k^2+2k+1)\ \vdots 3`

   `=>p^2+2` không là số nguyên tố (trái với giả thiết $p^2+2$ là số nguyên tố)

   `=>p\ne 3k+1`

   $\\$

   ++) Nếu `p=3k+2`

   `=>p^2+2=(3k+2)^2+2`

   `\qquad =(3k+2).(3k+2)+2`

   `\qquad =(3k).(3k)+3k.2+3k.2+2.2+2`

   `\qquad =9k^2+12k+6`

   `\qquad =3(3k^2+4k+2)\ \vdots 3`

   `=>p^2+2` không là số nguyên tố (trái với giả thiết $p^2+2$ là số nguyên tố)

   `=>p\ne 3k+2`

   $\\$

   `=>` Các số nguyên tố `p>3` không thỏa đề bài

   Do đó số nguyên tố $p$ duy nhất thỏa đề bài là $3$, khi đó $p;p^2+2;p^3+2$ là các số nguyên tố $3;11;29$

   Vậy $p$ và $p^2+2$ là số nguyên tố thì $p^3+2$ cũng là số nguyên tố 

   Bình luận