Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có tính chất AB+CD = AC+BD = AD+BC Thì có mặt cầu tiếp xác với các cạnh của tứ diện ABCD.

Đáp án:

Gọi O₁ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và các điểm tiếp xúc của đường tròn đó với các cạnh M, N, P.

Gọi Δ1Δ1 là trục của đường tròn này thì Δ1Δ1 chứa tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA.

Tương tự, nếu gọi Δ2Δ2 là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ABD thì Δ2Δ2 chứa tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABD .

Kí hiệu điểm tiếp xúc của ba cạnh ấy với đường tròn nội tiếp ΔABDΔABD  là N₁, Q, R (N₁ thuộc AB).

Khi ấy, vì

AN=AB+AC−BC2,AN1=AB+AD−BD2AN=AB+AC−BC2,AN1=AB+AD−BD2

Mà AC+BD = AD+BC nên AN = AN₁, từ đó N≡N1.N≡N1.

Suy ra AB⊥mp(O1NO2).AB⊥mp(O1NO2). Mặt khác, Δ1⊥ABΔ1⊥AB và cắt mp(ABC) tại O1,Δ2O1,Δ2 vuông góc với AB và cắt mp(ABD) tại O₂ nên Δ1,Δ2Δ1,Δ2 cùng nằm trong mp(O1NO2O1NO2). Từ đó Δ1Δ1 cắt Δ2Δ2 tại O, đó là điểm cách đều năm cạnh AB, AC, BC, AD, BD của tứ diện ABCD hay

OM = ON = OP = OQ = OR.                 (1)

Hoàn toàn tương tự như trên ta cũng có Δ2Δ2 cắt Δ3Δ3 (Δ3Δ3 là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ACD) tại O’ và

O’M = O’N = O’Q = O’R = O’S             (2)

(S là điểm tiếp xúc của cạnh CD và đường tròn nội tiếp ΔACDΔACD).

Từ (1) và (2) ta có O, O’ cùng là tâm của mặt cầu đi qua bốn điểm M, N, Q, R mà M, N, Q, R không đồng phẳng, vậy O≡O′.O≡O′. Đó là tâm mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện, bán kính mặt cầu đó là ON.

chuc hoc tot.

Giải thích các bước giải: