Chứng minh rằng pt ax^2 + (ab+1)x + b = 0 (1) luôn luôn có nghiệm với mọi a,b. Tìm a,b để phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=1/2.
Chứng minh rằng pt ax^2 + (ab+1)x + b = 0 (1) luôn luôn có nghiệm với mọi a,b. Tìm a,b để phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=1/2.
∆ = (ab + 1)^2 – 4ab = (ab)^2 + 2ab + 1 – 4ab
∆ = (ab)^2 – 2ab + 1 = (ab – 1)^2 >= 0 với mọi ab
Vậy phương trình luôn có nghiệm
Thay x = 1/2 vào (1), ta được
a/4 + (ab + 1)/2 + b = 0
a + 2(ab + 1) + 4b = 0 (*)
Phương trình cơ nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ∆ = 0
(ab – 1)^2 = 0
ab = 1 => a = 1/b
Thay ab = 1 và a = 1/b vào (*) ta được
1/b + 4 + 4b = 0
4b^2 + 4b + 1 = 0
(2b + 1)^2 = 0
b = – 1/2 => a = – 2
Vậy a = -2 và b = – 1/2 thì (1) có nghiệm duy nhất x = 1/2
Đáp án: $(a; b) ∈ ((0; – \frac{1}{2});(- 2; – \frac{1}{2}))$
Giải thích các bước giải: Tham khảo thêm:
$Δ = (ab + 1)² – 4ab = (ab – 1)² ≥ 0 $
$⇒ (1)$ luôn có nghiệm với $∀a, b$
Xét $x = \frac{1}{2}$ là nghiệm duy nhất của $(1)$
@ Nếu $ a = 0$ thì $(1)$ tương đương :
$ x + b = 0 ⇔ \frac{1}{2} + b = 0 ⇔ b = – \frac{1}{2}$
Vậy cặp $(a, b) = (0; – \frac{1}{2})$ thỏa
@ Nếu $ a \neq 0$ : vì $x = \frac{1}{2}$ là nghiệm duy nhất nên:
$ax² + (ab + 1)x + b = a(x – \frac{1}{2})²$
$⇔ ax² + (ab + 1)x + b = ax² – ax + \frac{a}{4}$
$⇔ (ab + 1)x + b = – ax + \frac{a}{4}$
$\left \{ {{ab + 1 = – a} \atop {b = \frac{a}{4}}} \right. ⇔ \left \{ {{ab + a + 1 = 0} \atop {a = 4b}} \right.⇔ \left \{ {{4b² + 4b + 1 = 0} \atop {a = 4b}} \right.$
$ ⇔ \left \{ {{(2b + 1)² = 0} \atop {a = 4b}} \right. ⇔ \left \{ {{b = – \frac{1}{2}} \atop {a = – 2}} \right.$