. Chứng minh rằng số 11…1122..225 (1997 số 1 và 1998 số 2) là một số chính phương.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có: $\underbrace{111…11}_{1997 số1}\underbrace{222…22}_{1998 số2}5$

$=\underbrace{111…11}_{1997 số1}\underbrace{222…22}_{1999 số2}+3$

$=\underbrace{111…11}_{1997 số1}.10^{1999}+\underbrace{222…22}_{1999 số2}+3$

$=\dfrac{10^{1997}-1}{9}.10^{1999}+2.\dfrac{10^{1999}-1}{9}+3$

$=\dfrac{10^{3996}-10^{1999}+2.10^{1999}-2+27}{9}$

$=\dfrac{10^{3996}+10^{1999}+25}{9}$

$=\dfrac{(10^{1998})^2+2.5.10^{1998}+25}{9}$

$=\dfrac{(10^{1998}+5)^2}{9}$

`=(\frac{10^{1998}+5}{3})^2` $(1)$

Vì $10^{1998}+5$ có tổng các chữ số là: $1+5=6 \vdots 3$

nên $10^{1998}+5 \vdots 3$ $(2)$

$(1); (2)$ $⇒ đpcm$