Chứng minh rằng số đường chéo trong 1 đa giác lồi là $\dfrac{n(n-3)}{2}$ với $n \geq 4$ (Quy nạp trong hình học)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Với $n=4$ ta thấy số đường chéo là:

`2=\frac{4(4-3)}{2}` (đúng)

Giả sử bài toán đúng với $n.$ Ta cần chứng minh bài toán đúng với $n+1$

Xét đa giác lồi $n+1$ cạnh $(n≥4;n∈N)$

Ta sẽ “bỏ” ra $1$ đỉnh sao cho đa giác còn lại chỉ là đa giác $n$ cạnh

Theo bài ra ta có: Số đường chéo trong đa giác $n$ cạnh là `\frac{n(n-3)}{2}` (đường chéo)

Xét đỉnh còn lại

Từ đỉnh đó nối tới $n$ đỉnh còn lại ta được $n-2$ đường chéo (Do ta không vẽ đường chéo nào qua $2$ đỉnh kề bên nó)

Đa giác $n$ cạnh ban đầu có $1$ cạnh chính là đường chéo của đa giác $n+1$ cạnh

Vậy tổng số đường chéo của đa giác $n+1$ cạnh là:

`\frac{n(n-3)}{2}+n-2+1=\frac{n^2-3n+2n-4+2}{2}`

`=\frac{n^2-n-2}{2}=\frac{(n+1)(n-2)}{2}=\frac{(n+1)[(n+1)-3]}{2}` (đúng)

Như vậy bài toán đúng cả cho $n+1$ và như vậy, ta có điểu phải chứng minh