chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi a^2 + b^2 + c^2 = 36r^2

0 bình luận về “chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi a^2 + b^2 + c^2 = 36r^2”

1. `p={a+b+c}/2; a;b;c` là độ dài ba cạnh tam giác nên $a;b;c>0$

   Ta có: `S=pr`

   `S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}`

   (công thức Hê rông)

   `=>pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}`

   `=>p^2r^2=p(p-a)(p-b)(p-c)`

   `=>r^2={p(p-a)(p-b)(p-c)}/{p^2}`

   `\qquad r^2={(p-a)(p-b)(p-c)}/p`

   Áp dụng BĐT Cosi cho $3$ số dương

   $p-a;p-b;p-c$ ta có:

   `(p-a)(p-b)(p-c)\le ({p-a+p-b+p-c}/3)^3=[{3p-(a+b+c)}/3]^3=({3p-2p}/3)^3=(p/3)^3`

   `=>{(p-a)(p-b)(p-c)}/p\le {(p/3)^3}/p={p^2}/{27}`

   `=>36r^2\le {36p^2}/{27}={4p^2}/3={(2p)^2}/3`

   `=>36r^2\le {(a+b+c)^2}/3`

   Ta có:

   `(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac`

   Áp dụng $BĐT$ Cosi cho các số dương $a;b;c$ ta có:

   `2ab\le a^2+b^2`

   `2bc\le b^2+c^2`

   `2ac\le a^2+c^2`

   `=>(a+b+c)^2\le 3(a^2+b^2+c^2)`

   `=>{(a+b+c)^2}/3\le a^2+b^2+c^2`

   $\\$

   `=>36r^2\le a^2+b^2+c^2`

   Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c$ hay $∆ABC$ đều

   Vậy $∆ABC$ đều khi và chỉ khi $a^2+b^2+c^2=36r^2$

   Trả lời