chứng minh rằng tồn tại một bội của 2003 có dạng 200420042004…2004 giúp mình nhé

0 bình luận về “chứng minh rằng tồn tại một bội của 2003 có dạng 200420042004…2004 giúp mình nhé”

1. Xét 2004 số có dạng 2004, 20042005, 200420042004,….., 200420042004…2004 (2004 số 2004)

   Khi chia 2004 số này cho 2003 thì số dư có thể là: 0,1,2,3,…,2002

   Áp dụng nguyên lí Dirichlet ⇒ có ít nhất 2 số tự nhiên có cùng dư khi chia 2003

                                             ⇒ hiệu 2 số đó chia hết 2003

   Gọi 2 số đó là 2004….20042004 (m số 2004) và 20042004…20042004 (n số 2004)  ( 1 ≤ m < n ≤ 2004 )

   Ta có:  2004….20042004 (n số 2004) – 20042004…20042004 (m số 2004) chia hết 2003

       ⇒   2004…..200400…00  (m chữ số 0)

       ⇒   2004…2004  (n – m số 2004) x 10^m  chia hết 2003

       mà (10^m, 2003) = 1

       ⇒  2004…2004  (n – m số 2004) chia hết 2003

   Vậy tồn tại 1 bội của 2003 có dạng 200420042004…2004

   Bình luận

2. Giải thích các bước giải:

   Xét `2003` số có dạng `2004, 20042004, 200420042004, …, 2004200420042004…2004` `(2003` lần số `2004).`
   TH1: Nếu có `1` số chia hết cho `2003` thì luôn tồn tại `1` bội của `2003` có dạng `200420042004…2004.`
   TH2: Nếu không có số nào chia hết cho 2003 thì có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2003. Gọi 2 số đó là \(a_m=20042004…2004\) `(m` lần số `2004)` và \(a_n=20042004…2004\) `(n` lần số `2004)`

   $\Rightarrow a_m-a_n=2004..200400..000$ $\vdots$ $2003$ `(m-n` lần số `2004` và `4n` lần số `0)`

   `⇔20042004…2004.10^(4n)⋮2003`

   Mà `ƯCLN(10^(4n),2003)=1`

   `=>`Luôn tồn tại `1` bội của `2003` có dạng `200420042004…2004.`

   Bình luận