Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 11, chia hết cho 31
By Aubrey
Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 11, chia hết cho 31
0 bình luận về “Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 11, chia hết cho 31”
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét\(32\)số :
\(1\)
\(11\)
\(111\)
……….
\(\underbrace{111…111}_{\text{32 số}}\)
Vì ta có $32$ số, mà mỗi số khi chia cho $31$ có thể dư $0,1,….,30$ (\(31\) loại số dư) nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất \(\left [ \frac{32}{31} \right ]+1=2\) số có cùng số dư khi chia cho $31$
Gọi hai số đó là \(\underbrace{111….1}_{m}\) và \(\underbrace{111….1}_{n}\) với \(m< n\)
Khi đó: \(\underbrace{111….1}_{n}-\underbrace{111….1}_{m}\vdots 31\)
Vì ta có3232số, mà mỗi số khi chia cho3131có thể dư0,1,....,300,1,….,30(3131 loại số dư) nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất [3231]+1=2[3231]+1=2 số có cùng số dư khi chia cho3131
Gọi hai số đó là 111….1m111….1⏟m và 111….1n111….1⏟n với m<nm<n
Khi đó: 111….1n−111….1m⋮31111….1⏟n−111….1⏟m⋮31
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét \(32\) số :
\(1\)
\(11\)
\(111\)
……….
\(\underbrace{111…111}_{\text{32 số}}\)
Vì ta có $32$ số, mà mỗi số khi chia cho $31$ có thể dư $0,1,….,30$ (\(31\) loại số dư) nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất \(\left [ \frac{32}{31} \right ]+1=2\) số có cùng số dư khi chia cho $31$
Gọi hai số đó là \(\underbrace{111….1}_{m}\) và \(\underbrace{111….1}_{n}\) với \(m< n\)
Khi đó: \(\underbrace{111….1}_{n}-\underbrace{111….1}_{m}\vdots 31\)
\(\Leftrightarrow \underbrace{111….1}_{n}-\underbrace{111….1}_{m}\vdots 31\Leftrightarrow \left ( \frac{10^n-1}{9}-\frac{10^m-1}{9} \right )\vdots 31\)
\(\Leftrightarrow \left ( \frac{10^n-10^m}{9} \right )\vdots 31\Leftrightarrow \frac{10^m(10^{n-m}-1)}{9}\vdots 31\Rightarrow \frac{(10^{n-m}-1)}{9}\vdots 31\)
\(\Leftrightarrow \underbrace{111…1}_{n-m}\vdots 31\)
Do đó tồn tại số toàn chữ số $1$ chia hết cho $31$
Xét 3232 số :
11
1111
111111
……….
111…11132 số111…111⏟32 số
Vì ta có 3232 số, mà mỗi số khi chia cho 3131 có thể dư 0,1,....,300,1,….,30 (3131 loại số dư) nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất [3231]+1=2[3231]+1=2 số có cùng số dư khi chia cho 3131
Gọi hai số đó là 111….1m111….1⏟m và 111….1n111….1⏟n với m<nm<n
Khi đó: 111….1n−111….1m⋮31111….1⏟n−111….1⏟m⋮31
⇔111….1n−111….1m⋮31⇔(10n−19−10m−19)⋮31⇔111….1⏟n−111….1⏟m⋮31⇔(10n−19−10m−19)⋮31
⇔(10n−10m9)⋮31⇔10m(10n−m−1)9⋮31⇒(10n−m−1)9⋮31⇔(10n−10m9)⋮31⇔10m(10n−m−1)9⋮31⇒(10n−m−1)9⋮31
⇔111…1n−m⋮31⇔111…1⏟n−m⋮31
Do đó tồn tại số toàn chữ số 11 chia hết cho 31