chứng minh rằng tổng của n số tự nhiên lẻ liên tiếp ( kể từ 1) là một số chính phương ( Với n thuộc N)

Giải thích các bước giải:

Tổng của các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1 là:

\(S = 1 + 3 + 5 + 7 + ….. + \left( {2n + 1} \right)\,\,\,\,\,\,\left( {n \in N} \right)\)

Tổng trên là tổng của các số tự nhiên lẻ liên tiếp. Các số hạng liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên số số hạng của tổng trên là:

\(\dfrac{{\left( {2n + 1} \right) – 1}}{2} + 1 = \dfrac{{2n}}{2} + 1 = n + 1\,\,\,\,\,\left( {số} \right)\)

Do đó, ta có:

\(\begin{array}{l}
S = 1 + 3 + 5 + ….. + \left( {2n + 1} \right)\\
 = \dfrac{{\left[ {\left( {2n + 1} \right) + 1} \right].\left( {n + 1} \right)}}{2}\\
 = \dfrac{{\left( {2n + 2} \right).\left( {n + 1} \right)}}{2}\\
 = \dfrac{{2.\left( {n + 1} \right).\left( {n + 1} \right)}}{2}\\
 = {\left( {n + 1} \right)^2}
\end{array}\)

Suy ra tống trên là một số chính phương.