Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.

0 bình luận về “Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.”

1. Đáp án+Giải thích các bước giải:

   Gọi `O` là giao điểm của hai đường chéo `AC, BD`

   Đặt `AB =a, BC = b, CD = c, DA=d`

   Xét tam giác `AOB` có:

   `OA + OB > AB` (Quan hệ cạnh trong tam giác)

   Xét tam giác `COD` có:

   `OC + OD > CD` (Quan hệ cạnh trong tam giác)

   Suy ra `OA + OB+ OC + OD > AB + CD`

   `=>AC + BD > AB + CD`

   `=> AC + BD > a + c`           (1)

   Chứng minh tương tự:

   `AC + BD > AD + BC`

   `=> AC + BD > d+b`                (2)

   Từ (1) và (2) `=> 2(AC + BD) > a+b+c+d`

   `=> AC + BD > (a+b+c+d)/2`                  `(**)`

   Xét tam giác `ABC` có `AC < a+b`

   Xét tam giác `ADC` có `AC < d+c`

   Suy ra `2AC < a+b+c+d`

   `=> AC < (a+b+c+d)/2`                 (3)

   Chứng minh tương tự:

   `BD < (a+b+c+d)/2`                         (4)

   Từ (3) và (4) `=> AC + BD < a+b+c+d`        `(****)`

   Từ `(**) (****) => (a+b+c+d)/2 < AC + BD < a+b+c+d`

   Bình luận

2.  gọi p là nữa chu vi

   * Theo 1 yêu cầu AC < p và BD < p ⇒ AC + BD< 2P tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi (đpcm)

   * Giao của AC và BD là o 

       Trong ΔOAB có OB+OA > AB, ΔOBC có OB+OC>BC

       Trong ΔOAD có OD+OA > AD, ΔODC có OD+OC>DC

      cộng 4 bất đẳng thức cùng chiều này lại ta có:

       2OB + 2OD + 2OA + 2OC > AB+BC+CD+DA

   ⇔ 2BD + 2AC > 2p ⇔ BD + AC > p

    Vậy ta suy ra được tổng 2 đường chéo lớn hơn nữa chu vi 

   xin 5*, ctlhn và cảm ơn

   Bình luận