Chứng minh rằng : Với a>b>0 với a>b>0 thì √a−√b<√a−b 19/09/2021 Bởi Ariana Chứng minh rằng : Với a>b>0 với a>b>0 thì √a−√b<√a−b
Đáp án: Giải thích các bước giải: √a-√b <√(a-b) <->a-2√ab + b < a-b <->-2√ab + 2b <0 <->-2√b (√a -√b) <0 (1) Mặt khác a>b>0 <->√a >√b ->√a -√b>0 Vậy (1) luôn đúng vì -2√b <0 với mọi b>0 ->đpcm Bình luận
Do $a>b>0$ nên $\sqrt a>\sqrt b>0$ $\Rightarrow\sqrt a-\sqrt b>0$ và $\sqrt{a-b}>0$ Khi đó $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$ bình phương hai vế bất đẳng thức không đổi chiều `<=>`$a+b-2\sqrt{ab}<a-b$ `<=>`$2b-2\sqrt{ab}<0$ `<=>`$2\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})<0$ (1) Vì $a>b$ nên $b-a<0$`<=>`$(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})<0$`<=>`$\sqrt{b}-\sqrt{a}<0$ (vì $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$) Lại có: $\sqrt{b}>0$`<=>`$2\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})<0$ đúng. Vì BĐT cuối cùng đúng nên BĐT ban đầu được chứng minh. Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
√a-√b <√(a-b)
<->a-2√ab + b < a-b
<->-2√ab + 2b <0
<->-2√b (√a -√b) <0 (1)
Mặt khác a>b>0 <->√a >√b
->√a -√b>0
Vậy (1) luôn đúng vì -2√b <0 với mọi b>0 ->đpcm
Do $a>b>0$ nên $\sqrt a>\sqrt b>0$
$\Rightarrow\sqrt a-\sqrt b>0$ và $\sqrt{a-b}>0$
Khi đó $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$ bình phương hai vế bất đẳng thức không đổi chiều
`<=>`$a+b-2\sqrt{ab}<a-b$
`<=>`$2b-2\sqrt{ab}<0$
`<=>`$2\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})<0$ (1)
Vì $a>b$ nên $b-a<0$`<=>`$(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})<0$`<=>`$\sqrt{b}-\sqrt{a}<0$ (vì $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$)
Lại có: $\sqrt{b}>0$`<=>`$2\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})<0$ đúng.
Vì BĐT cuối cùng đúng nên BĐT ban đầu được chứng minh.