Chứng minh rằng với các số tự nhiên có dạng 2p + 1 trong đó p là số nguyên tố, chỉ có 1 số là lập phương của 1 số tự nhiên khác, tìm số đó

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

gọi số cần tìm là 2p + 1 = $k^{3}$  ( k ∈ N ) 
⇔ 2p = $k^{3}$ – 1 
⇔ 2p = ( k – 1 )( $k^{2}$ + k + 1 ) 
Ta thấy vế trái có p là số nguyên tố, nghĩa là vế phải có một biểu thức bằng 2, biểu thức kia bằng p   Mà $k^{2}$ + k + 1 = k( k + 1 ) + 1,  k( k + 1 ) chia hết cho 2

⇒ k( k + 1 ) + 1 không chia hết cho 2.  
⇒\(\left[ \begin{array}{l}k-1=2\\ k²+k+1=p\end{array} \right.\) 
Giải hệ phương trình ta được k=3, p=13 (thỏa mãn) 
Vậy chỉ có số duy nhất cần tìm là 27.