Chứng minh rằng với mọi a>0,ta có: $\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{5(a^2+1)}{2a} ≥\dfrac{11}{2}$ 02/07/2021 Bởi Eloise Chứng minh rằng với mọi a>0,ta có: $\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{5(a^2+1)}{2a} ≥\dfrac{11}{2}$
Đáp án: Giải thích các bước giải: ta có: $\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{5(a^2+1)}{2a}≥\dfrac{11}{2}$ $⇔\dfrac{a}{a^2+1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{5(a^2+1)}{2a}-5≥0$ $⇔\dfrac{-(a-1)^2}{2(a^2+1)}+\dfrac{5(a-1)^2}{2a}≥0$ $⇔\dfrac{(a-1)^2}{2}.(\dfrac{5}{a}-\dfrac{1}{a^2+1})≥0$ $⇔\dfrac{(a-1)^2}{2}.\dfrac{5a^2-a+5}{a(a^2+1)}≥0$ $⇔\dfrac{(a-1)^2}{2}.\dfrac{(a-1)^2+9(a^2+1)}{2a(a^2+1)}≥0$ Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=1$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
ta có:
$\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{5(a^2+1)}{2a}≥\dfrac{11}{2}$
$⇔\dfrac{a}{a^2+1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{5(a^2+1)}{2a}-5≥0$
$⇔\dfrac{-(a-1)^2}{2(a^2+1)}+\dfrac{5(a-1)^2}{2a}≥0$
$⇔\dfrac{(a-1)^2}{2}.(\dfrac{5}{a}-\dfrac{1}{a^2+1})≥0$
$⇔\dfrac{(a-1)^2}{2}.\dfrac{5a^2-a+5}{a(a^2+1)}≥0$
$⇔\dfrac{(a-1)^2}{2}.\dfrac{(a-1)^2+9(a^2+1)}{2a(a^2+1)}≥0$
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=1$