chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của n biểu thức sau luôn có giá trị nguyên A= n^3-n / 6 30/09/2021 Bởi Ximena chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của n biểu thức sau luôn có giá trị nguyên A= n^3-n / 6
Giải thích các bước giải: Ta có : $n^3-n$ $ = n.(n^2-1)$ $ = n.(n-1).(n+1)$ Do $n$ nguyên nên $n-1,n,n+1$ là $3$ số nguyên liên tiếp. $⇒$ $\left\{ \begin{array}{l}(n-1).n.(n+1) \vdots 2\\(n-1).n.(n+1) \vdots 3\end{array} \right.$ Mà $(2,3) =1$ và $2×3=6$ $⇒(n-1).n.(n+1) \vdots 6$ Do đó : $A = \dfrac{n^3-n}{6}$ luôn nhận giá trị nguyên với $n∈Z$ Bình luận
Đặt B = n * (n^2-1) = n * (n-1) * (n+1) Ta sẽ chứng minh B chia hết cho 6. Thật vậy: – Nếu n chẵn thì n chia hết cho 2 => B chia hết cho 2 – Nếu n lẻ thì n+1 chia hết cho 2 => B chia hết cho 2 Vậy B luôn chia hết cho 2 – Nếu n chia hết cho 3 => B chia hết cho 3 – Nếu n chia cho 3 dư 1 => n-1 chia hết cho 3 => B chia hết cho 3 – Nếu n chia cho 3 dư 2 => n+1 chia hết cho 3 => B chia hết cho 3 Vậy B luôn chia hết cho 3 Mà (2,3) = 1 => B chia hết cho 2* 3 = 6 => A = B/6 luôn là 1 số nguyên. => ĐPCM Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta có : $n^3-n$
$ = n.(n^2-1)$
$ = n.(n-1).(n+1)$
Do $n$ nguyên nên $n-1,n,n+1$ là $3$ số nguyên liên tiếp.
$⇒$ $\left\{ \begin{array}{l}(n-1).n.(n+1) \vdots 2\\(n-1).n.(n+1) \vdots 3\end{array} \right.$
Mà $(2,3) =1$ và $2×3=6$
$⇒(n-1).n.(n+1) \vdots 6$
Do đó : $A = \dfrac{n^3-n}{6}$ luôn nhận giá trị nguyên với $n∈Z$
Đặt
B = n * (n^2-1) = n * (n-1) * (n+1)
Ta sẽ chứng minh B chia hết cho 6. Thật vậy:
– Nếu n chẵn thì n chia hết cho 2 => B chia hết cho 2
– Nếu n lẻ thì n+1 chia hết cho 2 => B chia hết cho 2
Vậy B luôn chia hết cho 2
– Nếu n chia hết cho 3 => B chia hết cho 3
– Nếu n chia cho 3 dư 1 => n-1 chia hết cho 3 => B chia hết cho 3
– Nếu n chia cho 3 dư 2 => n+1 chia hết cho 3 => B chia hết cho 3
Vậy B luôn chia hết cho 3
Mà (2,3) = 1
=> B chia hết cho 2* 3 = 6
=> A = B/6 luôn là 1 số nguyên.
=> ĐPCM