Chứng minh rằng với mọi n thì phân số $\frac{7n + 4}{5n + 3}$ là phân số tối giản

0 bình luận về “Chứng minh rằng với mọi n thì phân số $\frac{7n + 4}{5n + 3}$ là phân số tối giản”

1. Gọi $A$ là ước chung của $7n + 4 , 5n + 3.$

   $⇒ 7n + 4⋮A $ và $5n + 3⋮A$

   $⇒ 5( 7n + 4)⋮A$ và $7( 5n + 3)⋮A$

   $⇒35n + 20⋮A$ và $35n + 21⋮A$

   $⇒35n + 20 – 35n – 21⋮A$

   $⇒-1⋮A$

   $⇒A$ là ước của $-1$ . Mà $Ư(-1) ={ 1; -1}$

   $⇒A ∈ { 1; -1}$

   Như vậy ta thấy hai số $7n + 4; 5n + 3$ chỉ có hai ước là 1; -1

   Vậy phân số  $\frac{7n+4}{5n+3}$  là phân số tối giản

    

   Bình luận

2. Gọi `(7n + 4, 5n + 3)` là `d`  `(d ∈ N`*`)`

   `=> 7n + 4` chia hết cho `d` và `5n + 3` chia hết cho `d`

   `=> 5 (7n + 4)` chia hết cho `d` và `7 (5n + 3)` chia hết cho `d`

   `=> 35n + 20` chia hết cho `d` và `35n + 21` chia hết cho `d`

   `=> 35n + 21 – (35n + 20)` chia hết cho `d`

   `=> 35 + 21 – 35n – 20` chia hết cho `d`

   `=> 1` chia hết cho `d`

   `=> d ∈ Ư(1) = {±1}`

   Mà `d ∈ N`*

   `=> d = 1`

   `=> 7n + 4` và `5n + 3` là 2 số nguyên tố cùng nhau

   `=> (7n + 4)/(5n + 3)` là phân số tối giản   (đpcm)

   Bình luận