Chứng minh rằng với mọi n thì phân số $\frac{7n + 4}{5n + 3}$ là phân số tối giản
Phụ huynh gặp khó khăn cân bằng công việc và dạy con chương trình mới. Hãy để dịch vụ gia sư của chúng tôi giúp bạn giảm bớt áp lực, cung cấp kiến thức chuyên sâu và hỗ trợ con bạn học tập hiệu quả.
Gọi $A$ là ước chung của $7n + 4 , 5n + 3.$
$⇒ 7n + 4⋮A $ và $5n + 3⋮A$
$⇒ 5( 7n + 4)⋮A$ và $7( 5n + 3)⋮A$
$⇒35n + 20⋮A$ và $35n + 21⋮A$
$⇒35n + 20 – 35n – 21⋮A$
$⇒-1⋮A$
$⇒A$ là ước của $-1$ . Mà $Ư(-1) ={ 1; -1}$
$⇒A ∈ { 1; -1}$
Như vậy ta thấy hai số $7n + 4; 5n + 3$ chỉ có hai ước là 1; -1
Vậy phân số $\frac{7n+4}{5n+3}$ là phân số tối giản
Gọi `(7n + 4, 5n + 3)` là `d` `(d ∈ N`*`)`
`=> 7n + 4` chia hết cho `d` và `5n + 3` chia hết cho `d`
`=> 5 (7n + 4)` chia hết cho `d` và `7 (5n + 3)` chia hết cho `d`
`=> 35n + 20` chia hết cho `d` và `35n + 21` chia hết cho `d`
`=> 35n + 21 – (35n + 20)` chia hết cho `d`
`=> 35 + 21 – 35n – 20` chia hết cho `d`
`=> 1` chia hết cho `d`
`=> d ∈ Ư(1) = {±1}`
Mà `d ∈ N`*
`=> d = 1`
`=> 7n + 4` và `5n + 3` là 2 số nguyên tố cùng nhau
`=> (7n + 4)/(5n + 3)` là phân số tối giản (đpcm)