Chứng minh rằng với mọi số nguyên a,b thì `a^3b-ab^3` chia hết cho 6

Đáp án:

$a^3b-ab^3 \vdots (∀a,b \in Z)$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}a^3b-ab^3\\=a^3b-ab+ab-ab^3\\=ab(a^2-1)-ab(b^2-1)\\=ab(a-1)(a+1)-ab(b-1)(b+1)\\=a(a-1)(a+1).b-ab(b-1)(b+1)\\\text{vì a(a-1)(a+1) và b(b-1)(b+1) là tích 3 số nguyên liêp tiếp}\\→\begin{cases}a(a-1)(a+1) \vdots 2,3\\b(b-1)(b+1) \vdots 2,3\\\end{cases}\\→\begin{cases}a(a-1)(a+1) \vdots 6\\b(b-1)(b+1) \vdots 6\\\end{cases}\\→\begin{cases}a(a-1)(a+1).b \vdots 6\\ab(b-1)(b+1) \vdots 6\\\end{cases}\\→a(a-1)(a+1).b-ab(b-1)(b+1) \vdots 6\\hay a^3b-ab^3 \vdots (∀a,b \in Z)(ĐPCM)\\\underline{\text{CHÚC BẠN HỌC TỐT}}\\\end{array}$