chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì 5a^3 + 3a^2 + 10a + 18 chia hết cho 6 16/09/2021 Bởi Rose chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì 5a^3 + 3a^2 + 10a + 18 chia hết cho 6
Giải thích các bước giải: Ta có : $5a^3+3a^2+10a+18$ $ =5a^3-5a+3a^2+15a+18$ $ = 5a.(a^2-1)+(3a^2-3a)+18a+18$ $ = 5a.(a-1).(a+1)+3a.(a-1)+18.(a+1)$ Vì $a \in Z$ $⇒a-1,a,a+1$ là $3$ số nguyên liên tiếp $⇒ \left\{ \begin{array}{l}(a-1).a \vdots 2\\(a-1).a.(a+1) \vdots 2\\(a-1).a.(a+1) \vdots 3\end{array} \right.$ $⇒ \left\{ \begin{array}{l}3.a.(a-1) \vdots 6\\(a-1).a.(a+1) \vdots 6\text{(Do (2,3)=1 và 2×3=6 )}\end{array} \right.$ Mặt khác với $a$ nguyên thì $18.(a+1) \vdots 6$ Nên : $5a.(a-1).(a+1) + 3a.(a-1)+18.(a+1) \vdots 6$ Hay : $5a^3+3a^1+10a+18 \vdots 6$ $\text{(đpcm)}$ Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta có : $5a^3+3a^2+10a+18$
$ =5a^3-5a+3a^2+15a+18$
$ = 5a.(a^2-1)+(3a^2-3a)+18a+18$
$ = 5a.(a-1).(a+1)+3a.(a-1)+18.(a+1)$
Vì $a \in Z$ $⇒a-1,a,a+1$ là $3$ số nguyên liên tiếp
$⇒ \left\{ \begin{array}{l}(a-1).a \vdots 2\\(a-1).a.(a+1) \vdots 2\\(a-1).a.(a+1) \vdots 3\end{array} \right.$
$⇒ \left\{ \begin{array}{l}3.a.(a-1) \vdots 6\\(a-1).a.(a+1) \vdots 6\text{(Do (2,3)=1 và 2×3=6 )}\end{array} \right.$
Mặt khác với $a$ nguyên thì $18.(a+1) \vdots 6$
Nên : $5a.(a-1).(a+1) + 3a.(a-1)+18.(a+1) \vdots 6$
Hay : $5a^3+3a^1+10a+18 \vdots 6$ $\text{(đpcm)}$