chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì 5a^3 + 3a^2 + 10a + 18 chia hết cho 6

Giải thích các bước giải:

 Ta có : $5a^3+3a^2+10a+18$

$ =5a^3-5a+3a^2+15a+18$

$ = 5a.(a^2-1)+(3a^2-3a)+18a+18$

$ = 5a.(a-1).(a+1)+3a.(a-1)+18.(a+1)$

Vì $a \in Z$ $⇒a-1,a,a+1$ là $3$ số nguyên liên tiếp

$⇒ \left\{ \begin{array}{l}(a-1).a \vdots 2\\(a-1).a.(a+1) \vdots 2\\(a-1).a.(a+1) \vdots 3\end{array} \right.$

$⇒ \left\{ \begin{array}{l}3.a.(a-1) \vdots 6\\(a-1).a.(a+1) \vdots 6\text{(Do (2,3)=1 và 2×3=6 )}\end{array} \right.$

Mặt khác với $a$ nguyên thì $18.(a+1) \vdots 6$

Nên : $5a.(a-1).(a+1) + 3a.(a-1)+18.(a+1) \vdots 6$

Hay : $5a^3+3a^1+10a+18 \vdots 6$ $\text{(đpcm)}$