Chứng minh rằng với mọi số nguyên n cho trước không tồn tại số nguyên dương x sao cho:
x(x+1) = n(n+2)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n cho trước không tồn tại số nguyên dương x sao cho:
x(x+1) = n(n+2)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\text{ta có}$
$x(x+1)=n(n+2)$
⇔$x^{2}+x=n^2+2n$
⇔$x^{2}+x+1=n^2+2n+1$
⇔$x^{2}+x+1=(n+1)^2$
$\text{ vì n là số nguyên nên (n+1)^2 là số chính phương }$
$x>0$ $\text{ta có }$
$x^{2}+x+1$ $\geq$ $x^{2}$
$x^{2}+x+1<$ $x^{2}+x+1+x=x^2+2x+1=(x+1)^2$
⇒$x^{2}<$ $x^{2}+x+1<(x+1)^2$
$\text{hay}$ $x^{2}<(n+1)^2<(x+1)^2$
⇒$\text{ không có số chính phương tồn tại giưa hai số chính phương liên tiếp }$
$\text{ vậy không tồn tại x nguyên dương}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`x(x+1)=n(n+2)`
`⇔ x^2+x=n^2+2n`
`⇔ x^2+x+1=n^2+2n+1`
`⇔ x^2+x+1=(n+1)^2`
Với n là số nguyên cho trước thì `(n+1)^2` là 1 số chính phương
`x>0,` ta có: `x^2+x+1>x^2`
`⇔ x^2+x+1<x^2+x+1+x=x^2+2x+1=(x+1)^2`
`⇒ x^2<x^2+x+1<(x+1)^2`
Hay `x^2<(n+1)^2<(x+1)^2` (vô lí)
Vậy không tồn tại số nguyên dương x sao cho: `x(x+1)=n(n+2)`