Chứng minh rằng với mọi số nguyên n cho trước không tồn tại số nguyên dương x sao cho: x(x+1) = n(n+2)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$\text{ta có}$

            $x(x+1)=n(n+2)$

        ⇔$x^{2}+x=n^2+2n$ 

        ⇔$x^{2}+x+1=n^2+2n+1$ 

        ⇔$x^{2}+x+1=(n+1)^2$ 

$\text{ vì n là số nguyên nên (n+1)^2 là số chính phương }$

$x>0$ $\text{ta có }$

$x^{2}+x+1$ $\geq$ $x^{2}$

$x^{2}+x+1<$ $x^{2}+x+1+x=x^2+2x+1=(x+1)^2$

⇒$x^{2}<$ $x^{2}+x+1<(x+1)^2$ 

$\text{hay}$ $x^{2}<(n+1)^2<(x+1)^2$ 

⇒$\text{ không có số chính phương tồn tại giưa hai số chính phương liên tiếp }$

$\text{ vậy không tồn tại x nguyên dương}$