Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì: C(n)=n^5 – n chia hết cho 5

Giải thích các bước giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}C(n)= n\left(n^4-1\right) \\ <-> C=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right) \\ <-> C=(n-1)n(n+1)\left(n^2+1\right)\\ <->C = (n-1)n(n+1)\left(n^2-4+5\right) \\ <-> C= (n-1)n(n+1)\left(n^2-4\right)+5n(n-1)(n+1)\\ <-> C =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5n(n-1)(n+1)\end{array}\)

Vì n là số nguyên nên \(n-2, n-1, n,n+1, n+2\) là 5 số nguyên liên tiếp nên:

\((n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)\ \vdots\ 5\)

Mặt khác: \(5n(n-1)(n+1)\vdots\ 5\)

Suy ra điều phải chứng minh