Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y ta có: $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x} ≥x+y$

0 bình luận về “Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y ta có: $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x} ≥x+y$”

1. Đáp án:

   $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}≥x+y$ 

   Giải thích các bước giải:

   $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}≥x+y$ 

   $⇔\dfrac{x^3+y^3}{xy}≥x+y$

   $⇔x^3+y^3≥xy.(x+y)$

   $⇔(x+y).(x^2-xy+y^2)≥xy.(x+y)$

   $⇔x^2-xy+y^2≥xy$ chia hai vế cho $x+y$

   $⇔x^2-2xy+y^2≥0$

   $⇔(x-y)^2≥0$

        $_đpcm_$

    vì $(x-y)^2≥0$ nên bất đẳng thức đầu luôn đúng.

   dấu $”=” $ xảy ra khi và chỉ khi $x=y$

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

   $x^3+y^3≥x^2y+y^2x$

   $⇔x^3-x^2y+y^3-y^2x≥0$

   $⇔x^2(x-y)+y^2(y-x)≥0$

   $⇔(x-y)(x^2-y^2)≥0$

   $⇔(x-y)^2(x+y)≥0$

   Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi số dương x,y

   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y$

   Bình luận