Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y ta có $\frac{x^{2}}{y}$+$\frac{y^{2}}{x}$ $\geq$ x+y

0 bình luận về “Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y ta có $\frac{x^{2}}{y}$+$\frac{y^{2}}{x}$ $\geq$ x+y”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    $\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} ≥ x+y$

   $⇔\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} -( x+y)≥0$

   $⇔ \frac{x^3 + y^3}{xy} -(\frac{xy}{y}+\frac{xy}{x})≥0$

   $⇔\frac{x^3+y^3}{xy} – \frac{x^2y+xy^2}{xy}≥0$

   $⇔\frac{x^3+y^3-x^2y-xy^2}{xy}≥0$

   $⇔\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2) – xy(x+y)}{xy}≥0$

   $⇔\frac{(x+y)(x^2-2xy+y^2)}{xy}≥0$

   $⇔\frac{(x+y)(x-y)^2}{xy}≥0$ ( luôn đúng vì x,y là số thực dương ) 

   Vậy …≈≈≈≈≈

   Bình luận

2. Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $\dfrac{x^2}{y}+y\ge 2\sqrt{\dfrac{x^2}{y}\cdot y}=2x$

   $\dfrac{y^2}{x}+x\ge 2\sqrt{\dfrac{y^2}x\cdot x}=2y$

   Cộng vế với vế

   $\to \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}+(x+y)\ge 2(x+y)$
   $\to \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}\ge x+y$

   $\to đpcm$

   Bình luận