Chứng minh rằng với mọi số thực dương $x,y,z$ ta luôn có: $\dfrac{y + z}{x + 3y + 3z} + \dfrac{z + x}{y + 3z + 3x} + \dfrac{x+ y}{z + 3x + 3y} \leq \

Bởi

Chứng minh rằng với mọi số thực dương $x,y,z$ ta luôn có:
$\dfrac{y + z}{x + 3y + 3z} + \dfrac{z + x}{y + 3z + 3x} + \dfrac{x+ y}{z + 3x + 3y} \leq \dfrac{6}{7}$

0 bình luận về “Chứng minh rằng với mọi số thực dương $x,y,z$ ta luôn có: $\dfrac{y + z}{x + 3y + 3z} + \dfrac{z + x}{y + 3z + 3x} + \dfrac{x+ y}{z + 3x + 3y} \leq \”

  1. Đáp án:

     Đặt `VT` của ` BĐT ` là `A` ta có : 

    `A – 3/2 = ((y + z)/(x + 3y + 3z) – 1/2) + ((z + x)/(y + 3z + 3x) – 1/2) + ((x + y)/(z + 3x + 3y) – 1/2)`

    `= (-x – y – z)/[2(x + 3y + 3z)]+ (-z – x – y)/[2(y + 3z + 3x)] + (-y-x-z)/[2(z + 3x + 3y)]`

    `= – 1/2 (x + y + z)(1/(x + 3y + 3z) + 1/(y + 3z + 3x) + 1/(z + 3x + 3y))`

    Áp dụng BĐT `savcxo` ta có : 

    `1/(x + 3y + 3z) + 1/(y + 3z + 3x) + 1/(z + 3x + 3y) >= 9/(x + 3y + 3z + y + 3z + 3x + z + 3x + 3y) = 9/[7(x + y + z)]`

    `-> – 1/2 (x + y + z)(1/(x + 3y + 3z) + 1/(y + 3z + 3x) + 1/(z + 3x + 3y)) <= – 1/2 (x + y + z) . 9/[7(x + y + z)] = -9/14`

    `-> A – 3/2 <= -9/14 -> A <= -9/14 + 3/2 = 6/7 `

    `-> đ.p.c.m`

    Dấu “=’ xảy ra `<=> x = y = z`

    Giải thích các bước giải:

     

    Bình luận

Viết một bình luận