Chứng minh : $\sqrt[]{2.\sqrt[]{3.\sqrt[]{4…..\sqrt[]{2018}}}}$ < 3

Giải thích các bước giải:

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:

$P(n)=\sqrt{m\sqrt{(m+1)\sqrt{….\sqrt{n}}}}<\sqrt{m(m+2)}(*)$ với mọi $n>m, m, n\in Z, m\ge 2$

Với $n=m+1$

$\to P(m+1)=\sqrt{m\sqrt{m+1}}<\sqrt{m(m+2)}$ đúng

$\to$Giả sử $n=k$ đúng

$\to P(k)= \sqrt{m\sqrt{(m+1)\sqrt{….\sqrt{k}}}}<\sqrt{m(m+2)}$

Ta chứng minh $n=k+1$ đúng

$\to P(k+1)= \sqrt{m\sqrt{(m+1)\sqrt{….\sqrt{k\sqrt{k+1}}}}}$

$\to P(k+1)= \sqrt{m\cdot \sqrt{(m+1)\sqrt{….\sqrt{k\sqrt{k+1}}}}}$

Do $P(k)$ đúng

$\to \sqrt{(m+1)\sqrt{….\sqrt{k\sqrt{k+1}}}}< \sqrt{(m+1)(m+2)}$

$\to P(k+1)<\sqrt{m \sqrt{(m+1)(m+2)}}<\sqrt{m\sqrt{(m+2)(m+2)}}=\sqrt{m(m+2)}$

$\to P(k+1)$ đúng

$\to \sqrt{m\sqrt{(m+1)\sqrt{….\sqrt{n}}}}<\sqrt{m(m+2)}(*)$ với mọi $n>m, m, n\in Z, m\ge 2$ đúng

Áp dụng $m=2, n=2018$

$\to \sqrt{m\sqrt{(m+1)\sqrt{….\sqrt{n}}}}<\sqrt{2(2+2)}=2\sqrt2<3$

$\to đpcm$