Chứng minh trong một tứ giác có 2 đường chéo vuông góc với nhau thì tổng bình phương của hai cạnh đối này bằng tổng bình phương của hai cạnh đối kia
Chứng minh trong một tứ giác có 2 đường chéo vuông góc với nhau thì tổng bình phương của hai cạnh đối này bằng tổng bình phương của hai cạnh đối kia
By Athena
Cần hình thì cmt nhé!
Giả sử tứ giác ABCD cos AC vuông góc vs BD tại F
Áp dụng đl Pytago vào ∆ABF vuông tại F và ∆CDF vuông tại F có
AB² = AF² + BF²
CD² = DF² + CF²
=> AB² + CD² = AF² + BF² + DF² + CF² (1)
Áp dụng đl Pytago vào ∆ADF vuông tại F và ∆BCF vuông tại F có
AD² = AF² + DF²
BC² = BF² + CF²
=> AD² + BC² = AF² + BF² + DF² + CF² (2)
Từ (1) và (2)
=> AB² + DC² = AD² + BC²
Do đó trong một tứ giác có 2 đường chéo vuông góc với nhau thì tổng bình phương của hai cạnh đối này bằng tổng bình phương của hai cạnh đối kia
Xét tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc nhau tại $O$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$CD^2 = DO^2 + CO^2$
$\Rightarrow AB^2 + CD^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$ $(1)$
$BC^2 = BO^2 + CO^2$
$AD^2 = AO^2 + DO^2$
$\Rightarrow BC^2 + AD^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$ $(2)$
$(1)(2) \Rightarrow AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2$
$\Rightarrow$ Tổng bình phương của hai cạnh đối này bằng tổng bình phương của hai cạnh đối kia