Chứng minh Với `a,b,c>0 Và a+b+c=1` `√(a+bc)+ √(b+ca)+ √(c+ca) ≥ 1+ √ab+ √bc+ √ca`

Dự đoán dấu ”=”`a=b=c=1/3`

Bài làm

 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

`√(a+bc)+√(b+ca)+√(c+ab)≥a+b+c+√ab+√bc+√ca` (bn ghi sai √ac ở cuối )

`⇔(√(a+bc)-a-√bc)+(√(b+ca)-b-√ac)+(√(c+ab)-c-√ab)≥0`

Ta cần CM 

`√(a+bc)-a-√bc≥0,√(b+ca)-b-√ac≥0,√(c+ab)-c-√ab≥0`

Thật Vậy, Ta có

`√(a+bc)-a-√bc≥0⇔√(a+bc)≥a+√bc⇔a+bc≥a²+2a.√bc+bc`

`⇔1≥a+2√bc⇔a+b+c≥a+2√bc⇔(√b-√c)²≥0` ( Luôn đúng )

CM Tương tự

⇒ĐPCM

Dấu `”=” ⇔a=b=c=1/3`