Chứng minh với mọi a,b,c có tổng bằng 1 $\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\leq \frac{3}{2}$

0 bình luận về “Chứng minh với mọi a,b,c có tổng bằng 1 $\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\leq \frac{3}{2}$”

1. Đáp án:

    

   Do a, b, c là 3 cạnh tam giác nên a+b-c>0, b+c-a>0 , c+a-b > 0 
   Đặt x = b+c-a > 0 
   y = a+c-b > 0 
   z = a+b-c > 0 

   => a = (y+z)/2 
   b = (x+z)/2 
   c = (x+y)/2 

   A= a/(b+c-a) + b/(a+c-b)+c/(a+b-c) 
   = (y+z)/(2x) + (x+z)/(2y) + (x+y)/(2z) 
   = 1/2 . (x/y + y/x + x/z + z/x + y/z + z/y) 

   Áp dụng bdt Cauchy cho 2 số: 
   x/y + y/x >= 2 
   x/z + z/x >= 2 
   y/z + z/y >= 2 
   Cộng 3 bdt trên suy ra 
   (x/y + y/x + x/z + z/x + y/z + z/y) >= 6 
   => A >= 1/2.6=3 (dpcm)

   Bình luận