Chứng minh với mọi tam giác ABC ta có: sin3A + sin 3B + sin3C = -4cos3A/2.cos3B/2.cos3C/2

0 bình luận về “Chứng minh với mọi tam giác ABC ta có: sin3A + sin 3B + sin3C = -4cos3A/2.cos3B/2.cos3C/2”

1. Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   \sin x + \sin y = 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}.\cos \dfrac{{x – y}}{2}\\
   \cos x + \cos y = 2\cos \dfrac{{x + y}}{2}.\cos \dfrac{{x – y}}{2}\\
   \sin 2x = 2\sin x.\cos x\\
   \sin 3A + \sin 3B + \sin 3C\\
    = 2.\sin \dfrac{{3A + 3B}}{2}.\cos \dfrac{{3A – 3B}}{2} + 2\sin \dfrac{{3C}}{2}.\cos \dfrac{{3C}}{2}\\
    = 2.\sin \left( {180^\circ  – \dfrac{{3A + 3B}}{2}} \right).\cos \dfrac{{3A – 3B}}{2} + 2\sin \dfrac{{3C}}{2}.\cos \dfrac{{3C}}{2}\\
    =  – 2.sin\left( {\dfrac{{3A + 3B}}{2} – 180^\circ } \right).\cos \dfrac{{3A – 3B}}{2} + 2\sin \dfrac{{3C}}{2}.\cos \dfrac{{3C}}{2}\\
    =  – 2.\cos \left[ {90^\circ  – \left( {\dfrac{{3A + 3B}}{2} – 180^\circ } \right)} \right].\cos \dfrac{{3A – 3B}}{2} + 2\sin \dfrac{{3C}}{2}.\cos \dfrac{{3C}}{2}\\
    =  – 2.\cos \dfrac{{540^\circ  – \left( {3A + 3B} \right)}}{2}.\cos \dfrac{{3A – 3B}}{2} + 2\sin \dfrac{{3C}}{2}.\cos \dfrac{{3C}}{2}\\
    =  – 2.\cos \dfrac{{3\left( {180^\circ  – A – B} \right)}}{2}.\cos \dfrac{{3A – 3B}}{2} + 2\sin \dfrac{{3C}}{2}.\cos \dfrac{{3C}}{2}\\
    =  – 2.\cos \dfrac{{3C}}{2}.\cos \dfrac{{3A – 3B}}{2} + 2\sin \dfrac{{3C}}{2}.\cos \dfrac{{3C}}{2}\\
    = 2\cos \dfrac{{3C}}{2}.\left( {\sin \dfrac{{3C}}{2} – \cos \dfrac{{3A – 3B}}{2}} \right)\\
    = 2\cos \dfrac{{3C}}{2}.\left( {\sin \left( {180^\circ  – \dfrac{{3C}}{2}} \right) – \cos \dfrac{{3A – 3B}}{2}} \right)\\
    = 2\cos \dfrac{{3C}}{2}.\left( { – \sin \left( {\dfrac{{3C}}{2} – 180^\circ } \right) – \cos \dfrac{{3A – 3B}}{2}} \right)\\
    = 2\cos \dfrac{{3C}}{2}.\left( { – \cos \left( {90^\circ  – \left( {\dfrac{{3C}}{2} – 180^\circ } \right)} \right) – \cos \dfrac{{3A – 3B}}{2}} \right)\\
    = 2\cos \dfrac{{3C}}{2}.\left( { – \cos \dfrac{{540^\circ  – 3C}}{2} – \cos \dfrac{{3A – 3B}}{2}} \right)\\
    =  – 2\cos \dfrac{{3C}}{2}.\left( {\cos \dfrac{{3A + 3B}}{2} + \cos \dfrac{{3A – 3B}}{2}} \right)\\
    =  – 2.\cos \dfrac{{3C}}{2}.2.\cos \dfrac{{\dfrac{{3A + 3B}}{2} + \dfrac{{3A – 3B}}{2}}}{2}.\cos \dfrac{{\dfrac{{3A + 3B}}{2} – \dfrac{{3A – 3B}}{2}}}{2}\\
    =  – 4\cos \dfrac{{3C}}{2}.\cos \dfrac{{3A}}{2}.\cos \dfrac{{ – 3B}}{2}\\
    =  – 4\cos \dfrac{{3A}}{2}.\cos \dfrac{{3B}}{2}.\cos \dfrac{{3C}}{2}
   \end{array}\)

   Bình luận