Chứng minh x, y, z khác 0 thỏa mãn `1/x + 1/y + 1/z = 1/ (x+y+z)` thì 2 trong 3 số đối nhau

0 bình luận về “Chứng minh x, y, z khác 0 thỏa mãn `1/x + 1/y + 1/z = 1/ (x+y+z)` thì 2 trong 3 số đối nhau”

1. $\quad \dfrac1x + \dfrac1y +\dfrac1z =\dfrac{1}{x+y+z}$

   $\Leftrightarrow \left(\dfrac1x +\dfrac1y\right) + \left(\dfrac1z -\dfrac{1}{x + y + z}\right)=0$

   $\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy} +\dfrac{x+y}{z(x+y+z)}=0$

   $\Leftrightarrow (x+y)\cdot\left[\dfrac{1}{xy} +\dfrac{1}{z(x+y+z)}\right]=0$

   $\Leftrightarrow (x+y)\cdot\dfrac{xy + yz + zx + z^2}{xyz(x+y+z)}=0$

   $\Leftrightarrow \dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz(x+y+z)}=0$

   $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x+y=0\\y+z=0\\z+x = 0\end{array}\right.$

   Vậy có $2$ trong $3$ số $x,y,z$ đối nhau

   Bình luận

2. Giải thích các bước giải:

    `1/x + 1/y + 1/z = 1/(x+y+z)`

   `<=> (xy+yz+xz)/(xyz) = 1/ (x+ y +z)`

   `<=> (xy+yz+xz)(x+y+z)= xyz`

   `<=> x^2y + xy^2 + x^2z + xyz + xyz + y^2z + xz^2 + yz^2 = 0`

   `<=> xy(x+y) + yz (x+y)+ yz(x+y) + z^2 (x+y) = 0`

   `<=> (x+y)(xy + xz + yz + z^2)=0`

   `<=> (x+y)(x+z)(z+y) = 0`

   Một tích bằng 0 thì ít nhất có 1 thừa số bằng 0

   Vậy `x+ y =0 => x = -y`

   hoặc `z=-y` hoặc `x =-z`

   Bình luận