Chứng tỏ phương trình trên vô nghiệm x^4 +4x^3 +4x^2 +3x+1=0 28/10/2021 Bởi aihong Chứng tỏ phương trình trên vô nghiệm x^4 +4x^3 +4x^2 +3x+1=0
$x^{4}$ +4.x³+4.x²+3x+1=0 ⇔($x^{4}$ +4.x³+4x²)+3x+1=0 ⇔x².(x²+4x+4)+3x+1=0 ⇔x².(x+2)²+3x+1=0 Bình luận
` x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0 ` ` <=> x^2 (x^2 + 4x + 4) + 3x + 1 = 0 ` ` <=> x^2(x + 2)^2 = -(3x + 1) ` ` <=> x^2(x + 2)^2 = -3(x + 1/3) ` * Nếu ` -3(x + 1/3) ` là một số dương. Vì ` x + 2 > x + 1/3 <=> (x + 2)^2 > x + 1/3 ` $ ∀ $ ` x ∈ R ` Mặt khác: ` x^2 > -3 ` ` => x^2 (x + 2)^2 > -3 (x + 1/3) ` $ ∀ $ ` x ∈ R ` ` => ` Không thỏa mãn $ ⇔ $ Vô nghiệm. * Nếu ` -3(x + 1/3) = 0 ` ` => x = -1/3 ` Thay vào ` x^2 (x + 2)^2 ` ta có: ` (1/3)^2 . (1/3 + 2)^2 ` Vì ` (1/3)^2 > 0 ` và ` (1/3 + 2)^2 > 0 ` ` => x^2(x + 2)^2 > -3(x + 1/3) ` ` => ` Vô nghiệm * Nếu ` -3(x + 1/3) ` là một số âm. Do: ` x^2 ≥ 0 ` Và ` (x + 2)^2 ≥ 0 ` ` => x^2(x + 2)^2 ≥ 0 ` ` => x^2(x + 2)^2 > -3(x + 1/3) ` ` => ` Không thỏa mãn $ ⇔ $ Vô nghiệm. Từ 3 trường hợp $⇒$ Phương trình vô nghiệm $(đpcm)$ Bình luận
$x^{4}$ +4.x³+4.x²+3x+1=0
⇔($x^{4}$ +4.x³+4x²)+3x+1=0
⇔x².(x²+4x+4)+3x+1=0
⇔x².(x+2)²+3x+1=0
` x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0 `
` <=> x^2 (x^2 + 4x + 4) + 3x + 1 = 0 `
` <=> x^2(x + 2)^2 = -(3x + 1) `
` <=> x^2(x + 2)^2 = -3(x + 1/3) `
* Nếu ` -3(x + 1/3) ` là một số dương.
Vì ` x + 2 > x + 1/3 <=> (x + 2)^2 > x + 1/3 ` $ ∀ $ ` x ∈ R `
Mặt khác: ` x^2 > -3 `
` => x^2 (x + 2)^2 > -3 (x + 1/3) ` $ ∀ $ ` x ∈ R `
` => ` Không thỏa mãn $ ⇔ $ Vô nghiệm.
* Nếu ` -3(x + 1/3) = 0 `
` => x = -1/3 `
Thay vào ` x^2 (x + 2)^2 ` ta có:
` (1/3)^2 . (1/3 + 2)^2 `
Vì ` (1/3)^2 > 0 ` và ` (1/3 + 2)^2 > 0 `
` => x^2(x + 2)^2 > -3(x + 1/3) `
` => ` Vô nghiệm
* Nếu ` -3(x + 1/3) ` là một số âm.
Do: ` x^2 ≥ 0 `
Và ` (x + 2)^2 ≥ 0 `
` => x^2(x + 2)^2 ≥ 0 `
` => x^2(x + 2)^2 > -3(x + 1/3) `
` => ` Không thỏa mãn $ ⇔ $ Vô nghiệm.
Từ 3 trường hợp $⇒$ Phương trình vô nghiệm $(đpcm)$