Chứng tỏ rằng: `1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/n^2 < 7/4` `(n` là số tự nhiên`)` 24/10/2021 Bởi Valerie Chứng tỏ rằng: `1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/n^2 < 7/4` `(n` là số tự nhiên`)`
Gọi `1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/{n^2}` là $B$ `B=1/4+1/9+…+1/{n^2}` `B=1/{2^2}+1/{3^2}+…+1/{n^2}` `B<1+1/4+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+….+1/{n-1}-1/n` `B<4/4+1/4+2/4-1/n` `B<7/4-1/n` Ta có : $n∈N$ `<=>1/n>0<=>7/4-1/n<7/4` Vậy `A<7/4` hay `1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/{n^2}<7/4` Bình luận
Đáp án : `A<7/4` Giải thích các bước giải : `+)`Ta có : `n(n-1)<n^2` `=>1/(n(n-1))>1/n^2` `A=1+1/4+1/9+…+1/n^2` `<=>A=1+1/2^2+1/3^2+…+1/n^2` `<=>A<1+1/2^2+1/(2.3)+1/(3.4)+…+1/((n-1)n)` `<=>A<1+1/4+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/(n-1)-1/n` `<=>A<4/4+1/4+2/4-1/n` `<=>A<7/4-1/n` Vì `n∈N` `=>1/n > 0` `=>7/4-1/n < 7/4` `=>A<7/4` Vậy : `A<7/4` Bình luận
Gọi `1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/{n^2}` là $B$
`B=1/4+1/9+…+1/{n^2}`
`B=1/{2^2}+1/{3^2}+…+1/{n^2}`
`B<1+1/4+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+….+1/{n-1}-1/n`
`B<4/4+1/4+2/4-1/n`
`B<7/4-1/n`
Ta có :
$n∈N$ `<=>1/n>0<=>7/4-1/n<7/4`
Vậy `A<7/4` hay `1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/{n^2}<7/4`
Đáp án :
`A<7/4`
Giải thích các bước giải :
`+)`Ta có :
`n(n-1)<n^2`
`=>1/(n(n-1))>1/n^2`
`A=1+1/4+1/9+…+1/n^2`
`<=>A=1+1/2^2+1/3^2+…+1/n^2`
`<=>A<1+1/2^2+1/(2.3)+1/(3.4)+…+1/((n-1)n)`
`<=>A<1+1/4+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/(n-1)-1/n`
`<=>A<4/4+1/4+2/4-1/n`
`<=>A<7/4-1/n`
Vì `n∈N`
`=>1/n > 0`
`=>7/4-1/n < 7/4`
`=>A<7/4`
Vậy : `A<7/4`