Chứng tỏ rằng 1/2!+2/3!+3/4!+…+99/100!<1

0 bình luận về “Chứng tỏ rằng 1/2!+2/3!+3/4!+…+99/100!<1”

1. \(\begin{array}{l}
   \frac{1}{{2!}} + \frac{2}{{3!}} + \frac{3}{{4!}} + …. + \frac{{99}}{{100!}} < 1\\
   VT = \frac{1}{{2!}} + \frac{2}{{3!}} + \frac{3}{{4!}} + …. + \frac{{99}}{{100!}}\\
    = \frac{{2 – 1}}{{2!}} + \frac{{3 – 1}}{{3!}} + \frac{{4 – 1}}{{4!}} + ….. + \frac{{100 – 1}}{{100!}}\\
    = \frac{2}{{2!}} – \frac{1}{{2!}} + \frac{3}{{3!}} – \frac{1}{{3!}} + \frac{4}{{4!}} – \frac{1}{{4!}} + ….. + \frac{{100}}{{100!}} – \frac{1}{{100!}}\\
    = \frac{1}{{2.1!}} – \frac{1}{{2!}} + \frac{3}{{3.2!}} – \frac{1}{{3!}} + \frac{4}{{4.3!}} – \frac{1}{{4!}} + ….. + \frac{{100}}{{100.99!}} – \frac{1}{{100!}}\\
    = 1 – \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{2!}} – \frac{1}{{3!}} + \frac{1}{{3!}} – \frac{1}{{4!}} + …… + \frac{1}{{99!}} – \frac{1}{{100!}}\\
    = 1 – \frac{1}{{100!}} < 1\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).
   \end{array}\)

    

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   1/2!= 1- 1/2 
   1/3! = 1/2.3= 1/2 – 1/3 
   1/4! = 1/2.3.4< 1/3.4 =1/3 -1/4 
   …. 
   1/100! = 1/…99.100 <1/99-1/100 
   Cộng vế với vế ta được điều phải chứng minh.

    

   Bình luận