Chứng tỏ rằng các p.s tố giản với mọi số tự nhiên n a) n+1/2n+3 b)2n+3/4n +8 23/09/2021 Bởi Katherine Chứng tỏ rằng các p.s tố giản với mọi số tự nhiên n a) n+1/2n+3 b)2n+3/4n +8
$\text{a) Gọi ƯCLN(n + 1; 2n + 3) = d}$ $⇒ \left \{ {{n+1 \vdots d} \atop {2n+3 \vdots d}} \right.$ $⇒ \left \{ {{2(n+1) \vdots d} \atop {2n+3 \vdots d}} \right.$ $⇒ \left \{ {{2n+2 \vdots d} \atop {2n+3 \vdots d}} \right.$ `⇒ (2n + 3)-(2n+2) vdots d` `⇒ 1 vdots d ⇒ d = 1` $\text{Vậy phân số}$ `(n+1)/(2n+3)` $\text{tối giản ∀ n ∈ N}$ $\text{b) Gọi ƯCLN(2n + 3; 4n + 8) = d}$ $⇒ \left \{ {{2n+3 \vdots d} \atop {4n+8 \vdots d}} \right.$ $⇒ \left \{ {{2(2n+3) \vdots d} \atop {4n+8 \vdots d}} \right.$ $⇒ \left \{ {{4n+6 \vdots d} \atop {4n+8 \vdots d}} \right.$ `⇒ (4n+8)-(4n+6) vdots d` `⇒ 2 vdots d ⇒ d ∈ {1; 2}` $\text{Mà 2n + 3 lẻ ⇒ d = 1}$ $\text{Vậy phân số}$ `(2n+3)/(4n+8)` $\text{tối giản ∀ n ∈ N}$ Bình luận
Đáp án: Giải thích các bước giải: a, Gọi d là ước chung lớn nhất của n+1 và 2.n+3 => n+1 chia hết cho d và 2.n+3 chia hết cho d => 2.(n+1) chia hết cho d và 2.n+3 chia hết cho d => 2.n+2 chia hết cho d và 2.n+3 chia hết cho d ⇒ 2.n+3- 2.n- 2 chia hết cho d ⇒ 1 chia hết cho d ⇒ d= 1 ⇒ $\frac{n+1}{2.n+3}$ tối giản với mọi n ∈ N Vậy $\frac{n+1}{2.n+3}$ tối giản với mọi n ∈ N b, Gọi d là ƯCLN(2.n+3, 4.n+8) ⇒ 2.n+3 và 4.n+8 chia hết cho d ⇒ 2.(2.n+3) và 4.n+ 8 chia hết cho d => 4.n+ 6 chia hết cho d và 4.n+ 8 chia hết cho d ⇒4.n+ 8- 4.n- 6 chia hết cho d => 2 chia hết cho d ⇒ d= 1 hoặc d= 2 Với d= 2 thì 2.n+3 chia hết cho 2 mà 2.n chia hết cho 2 ⇒ 3 chia hết cho 2( vô lí) ⇒ d= 1⇒ $\frac{2.n+3}{4.n+8}$ tối giản với mọi n ∈ N Vậy $\frac{2.n+3}{4.n+8}$ tối giản với mọi n ∈ N Bình luận
$\text{a) Gọi ƯCLN(n + 1; 2n + 3) = d}$
$⇒ \left \{ {{n+1 \vdots d} \atop {2n+3 \vdots d}} \right.$
$⇒ \left \{ {{2(n+1) \vdots d} \atop {2n+3 \vdots d}} \right.$
$⇒ \left \{ {{2n+2 \vdots d} \atop {2n+3 \vdots d}} \right.$
`⇒ (2n + 3)-(2n+2) vdots d`
`⇒ 1 vdots d ⇒ d = 1`
$\text{Vậy phân số}$ `(n+1)/(2n+3)` $\text{tối giản ∀ n ∈ N}$
$\text{b) Gọi ƯCLN(2n + 3; 4n + 8) = d}$
$⇒ \left \{ {{2n+3 \vdots d} \atop {4n+8 \vdots d}} \right.$
$⇒ \left \{ {{2(2n+3) \vdots d} \atop {4n+8 \vdots d}} \right.$
$⇒ \left \{ {{4n+6 \vdots d} \atop {4n+8 \vdots d}} \right.$
`⇒ (4n+8)-(4n+6) vdots d`
`⇒ 2 vdots d ⇒ d ∈ {1; 2}`
$\text{Mà 2n + 3 lẻ ⇒ d = 1}$
$\text{Vậy phân số}$ `(2n+3)/(4n+8)` $\text{tối giản ∀ n ∈ N}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a, Gọi d là ước chung lớn nhất của n+1 và 2.n+3
=> n+1 chia hết cho d và 2.n+3 chia hết cho d
=> 2.(n+1) chia hết cho d và 2.n+3 chia hết cho d
=> 2.n+2 chia hết cho d và 2.n+3 chia hết cho d
⇒ 2.n+3- 2.n- 2 chia hết cho d
⇒ 1 chia hết cho d
⇒ d= 1
⇒ $\frac{n+1}{2.n+3}$ tối giản với mọi n ∈ N
Vậy $\frac{n+1}{2.n+3}$ tối giản với mọi n ∈ N
b, Gọi d là ƯCLN(2.n+3, 4.n+8)
⇒ 2.n+3 và 4.n+8 chia hết cho d
⇒ 2.(2.n+3) và 4.n+ 8 chia hết cho d
=> 4.n+ 6 chia hết cho d và 4.n+ 8 chia hết cho d
⇒4.n+ 8- 4.n- 6 chia hết cho d
=> 2 chia hết cho d
⇒ d= 1 hoặc d= 2
Với d= 2 thì 2.n+3 chia hết cho 2 mà 2.n chia hết cho 2 ⇒ 3 chia hết cho 2( vô lí)
⇒ d= 1⇒ $\frac{2.n+3}{4.n+8}$ tối giản với mọi n ∈ N
Vậy $\frac{2.n+3}{4.n+8}$ tối giản với mọi n ∈ N