chứng tỏ rằng f(x)= x^6 – x^3 – ^2 – x +1 không có nghiệm trên tập số thực

0 bình luận về “chứng tỏ rằng f(x)= x^6 – x^3 – ^2 – x +1 không có nghiệm trên tập số thực”

1. \(\begin{array}{l}
   \text{Sửa đề:}\ f(x) = x^6 – x^3 + x^2 – x + 1\\
   \Leftrightarrow f(x) = \left[(x^3)^2 – 2\cdot \dfrac12\cdot x^3 + \dfrac14\right] + \left(x^2 – 2\cdot \dfrac12 \cdot x + \dfrac14\right) + \dfrac12\\
   \Leftrightarrow f(x) = \left(x^3 – \dfrac12\right)^2 + \left(x – \dfrac12\right)^2 + \dfrac12\\
   \text{Ta có:}\\
   \left(x^3 – \dfrac12\right)^2 \geqslant 0\quad \forall x\\
   \left(x – \dfrac12\right)^2\geqslant 0\quad \forall x\\
   \text{Do đó:}\\
   \left(x^3 – \dfrac12\right)^2 + \left(x – \dfrac12\right)^2 + \dfrac12 > 0\quad \forall x\\
   Hay\ \ f(x) >0\quad \forall x\\
   \text{Vậy $f(x)$ không có nghiệm trên tập số thực}
   \end{array}\)

    

   Bình luận

2. Xét `x ≤0`

   Ta có: `x^6 ≥0`; `-x^3 ≥0`; `x^2 ≥0`; `-x ≥0`

   => `f(x) = x^6 – x^3 + x^2 -x ≥0`

   => `f(x) = x^6 – x^3 + x^2 -x +1 ≥1 > 0`

   Xét `0 < x <1`

   Ta có: `x^6 > 0`; `x^2 >0` ; `1-x > 0`

   => `f(x) = x^6 + x^2 (1-x) + 1-x >0`

   Xét `x ≥ 1`

   Ta có: `x^3>0` ; `x-1 ≥0` ; `x >0` ; `x-1 ≥0`

   => `f(x)= x^3 (x-1) + x(x-1) > 0`

   => `f(x) = x^3 (x-1) + x(x-1) +1 >1 > 0`

   Với mọi giá trị của `x` ta luôn có `f(x) >0` => f(x) không có nghiệm trên tập số thực

   Vậy f(x) không có nghiệm trên tập số thực

    

   Bình luận