chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n+4).(n+7) là số chẵn

0 bình luận về “chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n+4).(n+7) là số chẵn”

1. Cách chứng minh tổng quát:

   Ta có: `(n+4).(n+7)`

   Vì `n∈N`, ta xét hai trường hợp: 

   `TH_1:` `n` là một số tự nhiên chẵn, `n` có dạng `2k (k∈N).`, thay `2k=n` vào biểu thức ta có:

   `(n+4).(n+7)`

   `=(2k+4).(n+7)`

   `=2(k+2).(n+7).`

   Có: `2 ⋮ 2 ⇒ 2(k+2).(n+7)⋮ 2 `

   Vậy với `TH_1`, `n` là số tự nhiên chẵn, ta có: `2(k+2).(n+7)⋮ 2 hay [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`

   `TH_2:` `n` là một số tự nhiên lẻ, `n` có dạng `2k + 1 (k∈N).`, thay `2k+1=n` vào biểu thức ta có:

   `(n+4).(n+7)`

   `=(n+4)(2k+1+7)`

   `=(n+4)(2k+8)`

   `=(n+4).2.(k+4).`

   Có: `2 ⋮ 2 ⇒ (n+4).2.(k+4)⋮ 2 `

   Vậy với `TH_2`, `n` là số tự nhiên lẻ, ta có: `(n+4).2.(k+4)⋮ 2 hay [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`

   Kết luận, với mọi số tự nhiên `n` thì ` [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`

   Cách khác:

   Ta thấy `n` là số tự nhiên thì `n` xảy ra hai trường hợp.

   `1)` `n` là một số chẵn, thì (n+4) sẽ là một số chẵn `⇒ (n+4)⋮ 2 ⇒ [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`

   `2)` `n` là một số lẻ, thì (n+7) sẽ là một số chẵn `⇒ (n+7)⋮ 2 ⇒ [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`

   Kết luận, với mọi số tự nhiên `n` thì ` [(n+4).(n+7)] ⋮ 2.`

   Ghi chú: một số chẵn + một số chẵn = một số chẵn.

   một số lẻ + một số lẻ = một số chẵn.

   Điều kiện số đó là số tự nhiên.

   Trả lời

2. $\text { +) Nếu n = 2k (k ∈ N) thì: }$

   $\text { (n + 4)(n + 7) = (2k + 4)(2k + 7) = 2(k + 2)(2k + 7) $\vdots$ 2 }$

   $\text { ⇒ (n + 4)(n + 7) là 1 số chẵn }$

   $\text { +) Nếu n = 2k + 1 (k ∈ N) thì: }$

   $\text { (n + 4)(n + 7) = (2k + 5)(2k + 8) = (2k + 5)2(k + 4) $\vdots$ 2 }$

   $\text { ⇒ (n + 4)(n + 7) là 1 số chẵn }$

   $\text { Vậy ∀ n ∈ N thì: (n + 4)(n + 7) là số chẵn }$

    

   Trả lời