Chuyên gia hangbich làm hộ em với ạ:
Cho hệ phương trình: \(\begin{cases}(m-1)x+y=2\\mx+y=m+1\end{cases}\) (m là tham số)
CMR: Với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn: `x+2y\leq 3`
Chuyên gia hangbich làm hộ em với ạ:
Cho hệ phương trình: \(\begin{cases}(m-1)x+y=2\\mx+y=m+1\end{cases}\) (m là tham số)
CMR: Với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn: `x+2y\leq 3`
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {m – 1} \right)x + y = 2\\
mx + y = m + 1
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m – 1} \right)x – mx = 2 – m – 1\\
mx + y = m + 1
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m – 1 – m} \right)x = 1 – m\\
y = m + 1 – mx
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
– x = 1 – m\\
y = m + 1 – mx
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = m – 1\\
y = m + 1 – m\left( {m – 1} \right)
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = m – 1\\
y = m + 1 – {m^2} + m
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = m – 1\\
y = – {m^2} + 2m + 1
\end{array} \right.\\
Xét:x + 2y = m – 1 + 2\left( { – {m^2} + 2m + 1} \right)\\
= – 2{m^2} + 5m + 1\\
= – \left( {2{m^2} – 5m – 1} \right)\\
= – \left( {2{m^2} – 2.m\sqrt 2 .\dfrac{5}{{2\sqrt 2 }} + \dfrac{{25}}{8} – \dfrac{{33}}{8}} \right)\\
= – {\left( {m\sqrt 2 – \dfrac{5}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \dfrac{{33}}{8}\\
Do:{\left( {m\sqrt 2 – \dfrac{5}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \ge 0\\
\to – {\left( {m\sqrt 2 – \dfrac{5}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \le 0\\
\to – {\left( {m\sqrt 2 – \dfrac{5}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \dfrac{{33}}{8} \le \dfrac{{33}}{8}
\end{array}\)
( bạn xem lại đề có nhầm số hay dấu ở đâu không nhé )