CM: 2020$x{2}$-4x+4 không âm với mọi x€R

CM: 2020$x{2}$-4x+4 không âm với mọi x€R

0 bình luận về “CM: 2020$x{2}$-4x+4 không âm với mọi x€R”

  1. \(2020x^2-4x+4)\)

    \(=x^2-4x+4+2019x^2\)

    \(=(x^2-4x+4)+2019x^2\)

    \(=(x-2)^2+2019x^2\)

    \(\Rightarrow\begin{cases}(x-2)^2\geq 0\,\,\,\forall\,\,\,x\in\mathbb{R}\\x^2\geq 0\,\,\,\forall\,\,\,x\in\mathbb{R}\end{cases}\)

    \(\Rightarrow\begin{cases}(x-2)^2\geq 0\,\,\,\,\forall\,\,\,x\in\mathbb{R}\\2019x^2\geq 0\,\,\,\forall\,\,\,x\in\mathbb{R}\end{cases}\)

    \(\Rightarrow (x-2)^2+2019x^2\geq 0\,\,\,\forall\,\,\,x\in\mathbb{R}\)

    Vậy giá trị của biểu thức không âm \(x\in\mathbb{R}\)

    Bình luận
  2. $\quad 2020x^2 – 4x + 4$

    $= (x^2 – 4x + 4) + 2019x^2$

    $= (x-2)^2 + 2019x^2$

    Ta có:

    $\quad \begin{cases}(x-2)^2 \geq 0\quad \forall x\\x^2 \geq 0\quad \forall x\end{cases}$

    Do đó:

    $(x-2)^2 + 2019x^2 \geq 0\forall x$

    Vậy $2020x^2 – 4x + 4$ không âm $\forall x\in\Bbb R$

    _____________________________________________________________

    $\quad 2020x^2 – 4x + 4$

    $= 2020\left(x^2 – \dfrac{1}{505}x + \dfrac{1}{505}\right)$

    $= 2020\left(x^2 – 2\cdot\dfrac{1}{1010}x + \dfrac{1}{1010^2}\right) + \dfrac{2019}{505}$

    $= 2020\left(x – \dfrac{1}{1010}\right)^2 + \dfrac{2019}{505}$

    Ta có:

    $\quad \left(x – \dfrac{1}{1010}\right)^2\geq 0\quad \forall x$

    $\to 2020\left(x – \dfrac{1}{1010}\right)^2 + \dfrac{2019}{505} \geq \dfrac{2019}{505} >0$

    Hay $2020x^2 – 4x + 4 >0$

    Vậy $2020x^2 – 4x + 4$ luôn dương $\forall x \in\Bbb R$

    Bình luận

Viết một bình luận