CM BĐT sau : $\frac{a}{b+c}$ +$\frac{b}{a+c}$ +$\frac{c}{a+b}$ $\geq$ $\frac{3}{2}$ 01/09/2021 Bởi aihong CM BĐT sau : $\frac{a}{b+c}$ +$\frac{b}{a+c}$ +$\frac{c}{a+b}$ $\geq$ $\frac{3}{2}$
Đáp án: Giải thích các bước giải: Thêm ĐK `a,b,c>0` `a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=a^2/(ab+ac)+(b^2)/(ab+bc)+(c^2)/(ac+bc)` Áp dụng BĐT Svac-xơ `=>a^2/(ab+ac)+(b^2)/(ab+bc)+(c^2)/(ac+bc)>=(a+b+c)^2/[2(ab+ac+bc)]` Ta lại có `(a+b+c)^2>=3(ab+ac+bc)=>(a+b+c)^2/[2(ab+ac+bc)]>=3/2` `=>a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=3/2` Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c` Bình luận
$ \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{a+c} + \dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$ $\to ( \dfrac{a}{b+c}+1) + (\dfrac{b}{a+c}+1) + ( \dfrac{c}{a+b}+1|) \ge \dfrac{3}{2} +3$ $\to \dfrac{a+b+c}{b+c} + \dfrac{a+b+c}{a+c} + \dfrac{a+b+c}{a+b} \ge \dfrac{9}{2}$ $\to (a+b+c)( \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{a+c} + \dfrac{1}{a+b}) \ge \dfrac{9}{2}$ Áp dụng Cauchy – Schwarz dạng Engel có $ (a+b+c)( \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{a+c} + \dfrac{1}{a+b}) \ge (a+b+c)( \dfrac{(1+1+1)^2}{2(a+b+c)}) =$ $ = \dfrac{9(a+b+c)}{2(a+b+c)} = \dfrac{9}{2}$ (đpcm) Dấu $=$ xảy ra khi $ a= b=c$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Thêm ĐK `a,b,c>0`
`a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=a^2/(ab+ac)+(b^2)/(ab+bc)+(c^2)/(ac+bc)`
Áp dụng BĐT Svac-xơ
`=>a^2/(ab+ac)+(b^2)/(ab+bc)+(c^2)/(ac+bc)>=(a+b+c)^2/[2(ab+ac+bc)]`
Ta lại có `(a+b+c)^2>=3(ab+ac+bc)=>(a+b+c)^2/[2(ab+ac+bc)]>=3/2`
`=>a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=3/2`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c`
$ \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{a+c} + \dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$
$\to ( \dfrac{a}{b+c}+1) + (\dfrac{b}{a+c}+1) + ( \dfrac{c}{a+b}+1|) \ge \dfrac{3}{2} +3$
$\to \dfrac{a+b+c}{b+c} + \dfrac{a+b+c}{a+c} + \dfrac{a+b+c}{a+b} \ge \dfrac{9}{2}$
$\to (a+b+c)( \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{a+c} + \dfrac{1}{a+b}) \ge \dfrac{9}{2}$
Áp dụng Cauchy – Schwarz dạng Engel có
$ (a+b+c)( \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{a+c} + \dfrac{1}{a+b}) \ge (a+b+c)( \dfrac{(1+1+1)^2}{2(a+b+c)}) =$
$ = \dfrac{9(a+b+c)}{2(a+b+c)} = \dfrac{9}{2}$ (đpcm)
Dấu $=$ xảy ra khi $ a= b=c$