cm cô si cộng mẫu (Bất đẳng thức Svac-xơ) cho 2 số và 3 số (đầy đủ nhé)

BĐT $Svac-xo$ cho 2 số và 3 số như sau

Đối với Svac-xo hai số, bất đẳng thức được trình bày như sau. Cho $a,b,x,y>0$, ta có bất đẳng thức:

$\begin{array}{l} \dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\\  \Leftrightarrow {a^2}y\left( {x + y} \right) + {b^2}x\left( {x + y} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}xy\\  \Leftrightarrow {a^2}yx + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {b^2}xy \ge \left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)xy\\  \Leftrightarrow {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} – 2abxy \ge 0\\  \Leftrightarrow {\left( {ay – bx} \right)^2} \ge 0\left( {luôn\,đúng} \right)\\  \Leftrightarrow ‘ = ‘:ay = bx \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} \end{array}$

Đối với Svac-xo ba số, bất đẳng thức được trình bày ba số. Cho $a,b,c,x,y,z>0$, ta có bất đẳng thức:

$\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} + \dfrac{{{c^2}}}{z} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{x + y + z}}$

Áp dụng Svac-xơ hai số đã chứng minh ta được:

$\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} + \dfrac{{{c^2}}}{z} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}} + \dfrac{{{c^2}}}{z} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{x + y + z}}$