CM : $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ $\geq$ $\frac{9}{x+y+z}$ ( làm dễ hiểu tí )

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$\text{Bổ sung: $x, y, z$ là các số dương}$

Ta có: `(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})`

`=1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1`

`=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+3`

$\text{Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta được:}$

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}=2$

$\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x} \geq 2\sqrt{\dfrac{x}{z}.\dfrac{z}{x}}=2$

$\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y} \geq 2\sqrt{\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{y}}=2$

$⇒ (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+3 \geq 2+2+2+3=9$

$⇔ (x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}) \geq 9$

$⇔ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \geq \dfrac{9}{x+y+z}$ $(ĐPCM)$