Toán cm `\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}≥\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}` 09/07/2021 By Liliana cm `\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}≥\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}`
Đáp án + giải thích các bước giải: `\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}>=\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2} (1)``->a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}>=(a+c)^2+(b+d)^2` `->a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(ac)^2+(bc)^2+(ad)^2+(bd)^2}>=a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd` `->2\sqrt{(ac)^2+(bc)^2+(ad)^2+(bd)^2}>=2(ac+bd)` `->\sqrt{(ac)^2+(bc)^2+(ad)^2+(bd)^2}>=ac+bd` `->(ac)^2+(bc)^2+(ad)^2+(bd)^2>=(ac)^2+2abcd+(bd)^2` `->(bc)^2-2abcd+(ad)^2>=0` `->(bc-ad)^2>=0 (2)` `(2)` luôn đúng `-> (1)` luôn đúng Trả lời
`\sqrt(a^2+b^2)+\sqrt(c^2+d^2)≥\sqrt((a+c)^2+(b+d)^2)` `⇔a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt((a^2+b^2)(c^2+d^2))≥(a+c)^2+(b+d)^2` `⇔a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt((a^2+b^2)(c^2+d^2))≥a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd` `⇔2\sqrt((a^2+b^2)(c^2+d^2))≥2(ac+db)` `⇔\sqrt((a^2+b^2)(c^2+d^2))≥(ac+db)` nếu : `ac+db<0` `⇒ĐPCM` nếu : `ac+db>0` `⇔(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+db)^2` `⇔a^2c^2+b^2c^2+d^2a^2+b^2d^2≥a^2c^2+d^2b^2+2abcd` `⇔b^2c^2+d^2a^2≥2abcd` `⇔(bc-da)^2≥0` điều hiển nhiên `⇒\sqrt(a^2+b^2)+\sqrt(c^2+d^2)≥\sqrt((a+c)^2+(b+d)^2)` Trả lời
Đáp án + giải thích các bước giải:
`\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}>=\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2} (1)`
`->a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}>=(a+c)^2+(b+d)^2`
`->a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(ac)^2+(bc)^2+(ad)^2+(bd)^2}>=a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd`
`->2\sqrt{(ac)^2+(bc)^2+(ad)^2+(bd)^2}>=2(ac+bd)`
`->\sqrt{(ac)^2+(bc)^2+(ad)^2+(bd)^2}>=ac+bd`
`->(ac)^2+(bc)^2+(ad)^2+(bd)^2>=(ac)^2+2abcd+(bd)^2`
`->(bc)^2-2abcd+(ad)^2>=0`
`->(bc-ad)^2>=0 (2)`
`(2)` luôn đúng `-> (1)` luôn đúng
`\sqrt(a^2+b^2)+\sqrt(c^2+d^2)≥\sqrt((a+c)^2+(b+d)^2)`
`⇔a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt((a^2+b^2)(c^2+d^2))≥(a+c)^2+(b+d)^2`
`⇔a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt((a^2+b^2)(c^2+d^2))≥a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd`
`⇔2\sqrt((a^2+b^2)(c^2+d^2))≥2(ac+db)`
`⇔\sqrt((a^2+b^2)(c^2+d^2))≥(ac+db)`
nếu :
`ac+db<0`
`⇒ĐPCM`
nếu :
`ac+db>0`
`⇔(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+db)^2`
`⇔a^2c^2+b^2c^2+d^2a^2+b^2d^2≥a^2c^2+d^2b^2+2abcd`
`⇔b^2c^2+d^2a^2≥2abcd`
`⇔(bc-da)^2≥0` điều hiển nhiên
`⇒\sqrt(a^2+b^2)+\sqrt(c^2+d^2)≥\sqrt((a+c)^2+(b+d)^2)`