cmr :(x+1)^2n-x^2n-2x-1 chia hết cho x(x+1)(2x+1)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt $ : x(x + 1)(2x + 1).g(x) + ax² + bx + c = (x + 1)^{2n} – x^{2n} – 2x – 1 (*)$

Với $g(x)$ là đa thức bậc $2n – 3; r(x) = ax² + bx + c $ là đa thức dư bậc $≤ 2$

Lần lượt thay $x = 0; x = – 1; x = – \frac{1}{2}$ vào $(*)$ Ta có:

$  0(0 + 1)(2.0 + 1).g(0) + a.0² + b.0 + c = (0 + 1)^{2n} – 0^{2n} – 2.0 – 1$

$ ⇔ 0 + c = 0 ⇔ c = 0 (1)$

$  (- 1)(- 1 + 1)(2.(- 1) + 1).g(- 1) + a.(- 1)² + b.(- 1) + c = (- 1 + 1)^{2n} – (- 1)^{2n} – 2.(- 1) – 1$

$ ⇔ a – b + c = 0 ⇔ a – b = 0 (2)$

$ (- \frac{1}{2})(- \frac{1}{2} + 1)(2.(- \frac{1}{2}) + 1).g(- \frac{1}{2}) + a.(- \frac{1}{2})² + b.(- \frac{1}{2}) + c = (- \frac{1}{2} + 1)^{2n} – (- \frac{1}{2})^{2n} – 2.(- \frac{1}{2}) – 1$

$ ⇔ \dfrac{a}{4} – \dfrac{b}{2} + c = 0 ⇔ a – 2b = 0 (3)$

$(2) – (3) ⇒ b = 0 ⇒ a = 0 ⇒ r(x) = 0 $ ( với $∀x$)

$ ⇒ (x + 1)^{2n} – x^{2n} – 2x – 1 = x(x + 1)(2x + 1).g(x)$ ( với $∀x$)

hay $ (x + 1)^{2n} – x^{2n} – 2x – 1 $ chia hết cho $x(x + 1)(2x + 1)$