CmR : 1/n+1 + 1/n+2 + 1/n+3 +…+1/2n >13/24 với số tự nhiên n>=2

Bài toán chứng minh

\begin{equation} P_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+…+\dfrac{1}{2n}\ge \dfrac{13}{24},\forall n \ge 2. \tag{*} \end{equation}

Ta có: $P_2=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12}>\dfrac{13}{24}$

Giả sử mệnh đề (*) đúng với $n=k$.

Ta cần chứng minh (*) cũng đúng với $n=k+1$.

Thật vậy, ta có: $\begin{array}{cl} P_{n+1}-P_n&=\left( \dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+…+\dfrac{1}{2(n+1)} \right)-\left( \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+…+\dfrac{1}{2n} \right)\\ &=\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n+1}\\ &=\dfrac{3}{(2n+1)(2n+2)}>0, \forall n \ge 2. \end{array}$

Suy ra: $P_{n+1}>P_n\ge \dfrac{13}{24}, \forall n\ge 2$ (đpcm).