CMR: $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ < 2(ab+ac+bc) abc> (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

0 bình luận về “CMR: $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ < 2(ab+ac+bc) abc> (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)”

1. Đáp án:

   `1)`

   Vì `a,b,c` là `3` cạnh của tam giác

   ` => c < a+b`

   ` => c^2 < c*(a+b)`

   ` => c^2 < ac + bc`

   ` a < b + c`

   ` => a^2 < ab  +ac`

   ` b < a+c`

   ` => b^2 < ab +ac`

   `=> a^2 +b^2 +c^2 < 2(ab+ac+bc)` (Đpcm)

   `2)`

   Đặt ` a + b – c = 2x ; b + c – a = 2y ; c+a-b = 2z`

   ` => 2x + 2y = 2b => b = x +y`

   Tương tự : ` a = x + z ; c = y +z`

   ` abc > (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)`

   ` <=> (x+y)(x+z)(y+z) \ge 8xyz` 

   BĐT này có nhiều cách CM nhưng tui làm theo cách đơn giản nhất là Cauchy nhé :^

   ` x + y \ge 2 \sqrt(xy)`

   ` x +z \ge 2 \sqrt(xz)`

   ` y+z  \ge 2 \sqrt(yz)`

   ` => (x+y)(x+z)(y+z) \ge 8xyz`  (đpcm)

   Vậy BĐT đề bài cho đã được chứng minh

   P/s : Ý b bạn có thể tìm hiểu về BĐT Schur nhé 

    

   Bình luận

2. Giải thích các bước giải:

   Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên:

   +) a<b+c

   => a.a<a.(b+c)

   => $a^{2}$ < ab + ac (1)

   +) b<a+c

   => b.b<b(a+c)

   => $b^{2}$ < ba + bc (2)

   +) c<a+b

   => c.c < c(a+b)

   => $c^{2}$ < ca+ cb (3)

   Từ (1), (2) và (3) suy ra:

   $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ <ab+ac+ba+bc+ca+cb

   $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ < 2.ab+2.bc+2.ac

   $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ <2(ab+bc+ac) (đccm)

   Cho mình 5 vote với 1 cảm ơn đi ạ, tks add!!

   Bình luận