Toán CMR: $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ < 2(ab+ac+bc) abc> (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) 16/11/2021 By Arya CMR: $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ < 2(ab+ac+bc) abc> (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
Đáp án: `1)` Vì `a,b,c` là `3` cạnh của tam giác ` => c < a+b` ` => c^2 < c*(a+b)` ` => c^2 < ac + bc` ` a < b + c` ` => a^2 < ab +ac` ` b < a+c` ` => b^2 < ab +ac` `=> a^2 +b^2 +c^2 < 2(ab+ac+bc)` (Đpcm) `2)` Đặt ` a + b – c = 2x ; b + c – a = 2y ; c+a-b = 2z` ` => 2x + 2y = 2b => b = x +y` Tương tự : ` a = x + z ; c = y +z` ` abc > (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)` ` <=> (x+y)(x+z)(y+z) \ge 8xyz` BĐT này có nhiều cách CM nhưng tui làm theo cách đơn giản nhất là Cauchy nhé :^ ` x + y \ge 2 \sqrt(xy)` ` x +z \ge 2 \sqrt(xz)` ` y+z \ge 2 \sqrt(yz)` ` => (x+y)(x+z)(y+z) \ge 8xyz` (đpcm) Vậy BĐT đề bài cho đã được chứng minh P/s : Ý b bạn có thể tìm hiểu về BĐT Schur nhé Trả lời
Giải thích các bước giải: Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên: +) a<b+c => a.a<a.(b+c) => $a^{2}$ < ab + ac (1) +) b<a+c => b.b<b(a+c) => $b^{2}$ < ba + bc (2) +) c<a+b => c.c < c(a+b) => $c^{2}$ < ca+ cb (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ <ab+ac+ba+bc+ca+cb $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ < 2.ab+2.bc+2.ac $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ <2(ab+bc+ac) (đccm) Cho mình 5 vote với 1 cảm ơn đi ạ, tks add!! Trả lời
Đáp án:
`1)`
Vì `a,b,c` là `3` cạnh của tam giác
` => c < a+b`
` => c^2 < c*(a+b)`
` => c^2 < ac + bc`
` a < b + c`
` => a^2 < ab +ac`
` b < a+c`
` => b^2 < ab +ac`
`=> a^2 +b^2 +c^2 < 2(ab+ac+bc)` (Đpcm)
`2)`
Đặt ` a + b – c = 2x ; b + c – a = 2y ; c+a-b = 2z`
` => 2x + 2y = 2b => b = x +y`
Tương tự : ` a = x + z ; c = y +z`
` abc > (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)`
` <=> (x+y)(x+z)(y+z) \ge 8xyz`
BĐT này có nhiều cách CM nhưng tui làm theo cách đơn giản nhất là Cauchy nhé :^
` x + y \ge 2 \sqrt(xy)`
` x +z \ge 2 \sqrt(xz)`
` y+z \ge 2 \sqrt(yz)`
` => (x+y)(x+z)(y+z) \ge 8xyz` (đpcm)
Vậy BĐT đề bài cho đã được chứng minh
P/s : Ý b bạn có thể tìm hiểu về BĐT Schur nhé
Giải thích các bước giải:
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên:
+) a<b+c
=> a.a<a.(b+c)
=> $a^{2}$ < ab + ac (1)
+) b<a+c
=> b.b<b(a+c)
=> $b^{2}$ < ba + bc (2)
+) c<a+b
=> c.c < c(a+b)
=> $c^{2}$ < ca+ cb (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
$a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ <ab+ac+ba+bc+ca+cb
$a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ < 2.ab+2.bc+2.ac
$a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ <2(ab+bc+ac) (đccm)
Cho mình 5 vote với 1 cảm ơn đi ạ, tks add!!