CMR $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ ≥ ab+bc+ca 13/09/2021 Bởi Arya CMR $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ ≥ ab+bc+ca
Đáp án: Giải thích các bước giải: `a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca` `<=>2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ca` `<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca>=0` `<=>(a^2-2ab+b^2)+(c^2-2bc+b^2)+(c^2-2ca+a^2)>=0` `<=>(a-b)^2+(c-b)^2+(c-a)^2>=0`(luôn đúng) Dấu “=” xảy ra khi : `a=b=c` Bình luận
Áp dụng BĐT Cauchy: `a^2 + b^2 ≥ 2ab` `b^2 + c^2 ≥ 2bc` `c^2 + a^2 ≥ 2ca` Cộng vế với vế được: `2a^2 + 2b^2 + 2c^2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca` `<=> a^2 +b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca` (ĐPCM) Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ca`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca>=0`
`<=>(a^2-2ab+b^2)+(c^2-2bc+b^2)+(c^2-2ca+a^2)>=0`
`<=>(a-b)^2+(c-b)^2+(c-a)^2>=0`(luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra khi : `a=b=c`
Áp dụng BĐT Cauchy:
`a^2 + b^2 ≥ 2ab`
`b^2 + c^2 ≥ 2bc`
`c^2 + a^2 ≥ 2ca`
Cộng vế với vế được:
`2a^2 + 2b^2 + 2c^2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca`
`<=> a^2 +b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca` (ĐPCM)