CMR: √a^2+b^2 + √c^2+d^2 ≥ √(a+c)^2+(b+d)^2

0 bình luận về “CMR: √a^2+b^2 + √c^2+d^2 ≥ √(a+c)^2+(b+d)^2”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Ta có: $(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2})^2$

   $=a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$

   $(\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2})^2$

   $=(a+c)^2+(b+d)^2$

   $=a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd$

   Xét 2 trường hợp:

   -Nếu $ac+bd≤0⇒2ac+2bd≤0$

   Mà $2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}≥0$

   $⇒2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}≥2ac+2bd$

   $⇒a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}≥a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd$

   $⇒(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2})^2≥(\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2})^2$

   $⇒\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}≥\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}(đpcm)$

   -Nếu $ac+bd>0$

   Ta có:

   $(\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)})^2$

   $=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

   $=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$

   $(ac+bd)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2$

   Xét hiệu:

   $(\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)})^2-(ac+bd)^2$

   $=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2-a^2c^2-2abcd-b^2d^2$

   $=a^2d^2-2abcd+b^2c^2$

   $=(ad-bc)^2≥0$

   $⇒(\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)})^2≥(ac+bd)^2$

   $⇒\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}≥ac2bd$

   $⇒2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}≥2ac+2bd$

   $⇒a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}≥a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd$

   $⇒(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2})^2≥(\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2})^2$

   $⇒\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}≥\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}(đpcm)$

   Vậy bài toán được chứng minh.

   Bình luận