CMR: √a^2+b^2 + √c^2+d^2 ≥ √(a+c)^2+(b+d)^2

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Ta có: $(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2})^2$

$=a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$

$(\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2})^2$

$=(a+c)^2+(b+d)^2$

$=a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd$

Xét 2 trường hợp:

-Nếu $ac+bd≤0⇒2ac+2bd≤0$

Mà $2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}≥0$

$⇒2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}≥2ac+2bd$

$⇒a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}≥a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd$

$⇒(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2})^2≥(\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2})^2$

$⇒\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}≥\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}(đpcm)$

-Nếu $ac+bd>0$

Ta có:

$(\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)})^2$

$=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

$=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$

$(ac+bd)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2$

Xét hiệu:

$(\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)})^2-(ac+bd)^2$

$=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2-a^2c^2-2abcd-b^2d^2$

$=a^2d^2-2abcd+b^2c^2$

$=(ad-bc)^2≥0$

$⇒(\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)})^2≥(ac+bd)^2$

$⇒\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}≥ac2bd$

$⇒2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}≥2ac+2bd$

$⇒a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}≥a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd$

$⇒(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2})^2≥(\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2})^2$

$⇒\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}≥\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}(đpcm)$

Vậy bài toán được chứng minh.

Trả lời