CMR: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) thì \((x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)=(ax+by+zc)^2\)

0 bình luận về “CMR: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) thì \((x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)=(ax+by+zc)^2\)”

1. Đáp án:

    Phương pháp sử dụng:Biến đổi tương đương

   Giải thích các bước giải:

    $(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)=(ax+by+cz)^2$

   $⇔x^2a^2+x^2b^2+x^2c^2+y^2a^2+y^2b^2+y^2c^2+z^2a^2+z^2b^2+z^2c^2$

   $=a^2x^2+b^2y^2+z^2c^2+2axby+2axcz+2bycz$

   $⇔x^2b^2+x^2c^2+y^2a^2+y^2c^2+z^2a^2+z^2b^2$$=2axby+2axcz+2bycz$

   $⇔x^2b^2+x^2c^2+y^2a^2+y^2c^2+z^2a^2+z^2b^2-2axby-2axcz-2bycz=0$

   $⇔(xb-ya)^2+(xc-az)^2+(yc-bz)^2=0(*)$

   Theo giả thiết ta có

   $\dfrac{x}{a}=$$\dfrac{y}{b}$

   ⇒$xb=ya (1)$

   Tương tự

   ⇒$xc=az(2)$

   $yc=bz(3)$

   Thay $(1);(2);(3) vào (*)$

   $⇒(xb-ya)^2+(xc-az)^2+(yc-bz)^2=0 (luôn đúng)$

   vậy BĐT đã được chứng minh

   Đánh máy chậm ;v

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Đặt: $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=k$

   $\to x=ak; y=bk; z=ck$

   Ta có:

   $(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)$

   $=[(ak)^2+(bk)^2+(ck)^2](a^2+b^2+c^2)$

   $=(a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2)(a^2+b^2+c^2)$

   $=k^2(a^2+b^2+c^2)^2$    (1)

   Lại có:

   $(ax+by+cz)^2$

   $=(a^2k+b^2k+c^2k)^2$

   $=[k(a^2+b^2+c^2)]^2$

   $=k^2(a^2+b^2+c^2)^2$     (2)

   Từ $(1)$ và $(2)\to (x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)=(ax+by+cz)^2$

   Bình luận